1r ciclo Tensores de inercia

[user_guide]

Tengo muchos problemas para calcular los tensores de inercia (para realizar luego otros ejercicios de mecánica del sólido rígido) de las siguientes figuras geométricas, ahí van los enunciados:

- Un cuerpo rígido está constituido por una chapa rómbica de masa M y lado a en la cual el ángulo agudo es de 60º y por dos masas puntuales m adheridas en vértices opuestos B y D. El sistema gira con velocidad angular constante w sobre el eje EF (eje que divide al rombo a la mitad cortándolo por los puntos medios de los lados).
*Para resolver este problema necesito saber cómo calcular el tensor de inercia de un rombo, cosa con la cual no me aclaro.

- Un cuerpo rígido está constituido por una chapa delgada triangular homogénea de masa M con los vértices situados en los puntos (a,0,0), (0,a,0) y (0,a,0). Calcular el tensor de inercia.


Muchas gracias de antemano por la ayuda!

[Jordiel]

Re: Tensores de inercia

[FONT=Verdana]Hola.[/FONT]

[FONT=Verdana]Respecto al primer ejercicio, para calcular la inercia del rombo respecto al eje EF lo ideal sería calcular primero la inercia de la mitad del rombo respecto a un eje paralelo a una diagonal del rombo. En este caso tendríamos un triángulo y el eje que tomamos para calcular la inercia será paralelo a la base del triángulo, y el eje lo haremos coincidir con el centro de gravedad del triángulo, porque así podemos aplicar steiner fácilmente.[/FONT]

[FONT=Verdana]Aquí te dejo cómo empezar a plantear el cálculo de la inercia. Recuerda que la inercia es la suma de las [FONT=Verdana]áreas[/FONT] por [FONT=Verdana]distancia al cuadrado(pongo dA al igual que podría haber puesto dm)[/FONT]:[/FONT]

Sabiendo esto aplicas steiner para calcular la inercia respecto a un eje paralelo al del dibujo y que pase por el centro de gravedad del rombo teniendo en cuenta los dos triángulos que lo forman.

Para el eje perpendicular haz lo mismo, y el producto de inercia respecto al centro de gravedad del rombo es 0.

Con estos datos ya tienes el tensor de inercia del rombo, sólo falta añadir el efecto de las masas puntuales.

Conociendo el tensor de inercia desde el centro de gravedad puedes calcular la inercia respecto cualquier eje que pase por el centro, y el eje EF pasa por el centro

Para comprobar los resultados te adjunto un enlace con soluciones de momentos de inercia (ojo, estos momentos de inercia no tienen en cuenta la densidad, son segundos momentos de área)
Inercias

El segundo ejercicio lo dejamos para otro día

[Fastolfe]

Re: Tensores de inercia

Hola, tu primer problema es algo confuso al leerlo, pero mas confuso al plantearlo, calcular un pedazo triangular es una opcion valida pero enredosa. Mi forma de ver el problema es el siguiente, ya que el rombo es una figura regular, sus cuatro lados son iguales, es parecido a un "cuadrado", y he ahi la ¡solucion!. Todos estos problemas, al ser lineales obedecen al principio de superposicion, por lo tanto, puedes descomponer como quieras la figura y aprovecharte de tu ingenio. Es decir, para cualquier eje de simetria trazado por los puntos medios de los lados, el rombo es considerado como un cuadrado de lado "a".
Suerte.

[Jordiel]

Re: Tensores de inercia

Hola, tu primer problema es algo confuso al leerlo, pero mas confuso al plantearlo, calcular un pedazo triangular es una opcion valida pero enredosa. Mi forma de ver el problema es el siguiente, ya que el rombo es una figura regular, sus cuatro lados son iguales, es parecido a un "cuadrado", y he ahi la ¡solucion!. Todos estos problemas, al ser lineales obedecen al principio de superposicion, por lo tanto, puedes descomponer como quieras la figura y aprovecharte de tu ingenio. Es decir, para cualquier eje de simetria trazado por los puntos medios de los lados, el rombo es considerado como un cuadrado de lado "a".
Suerte.

La verdad es que sí es algo enredosa, lo hago así para conseguir un tensor de inercia de una forma más rápida, pero también podríamos calcular directamente la inercia desde ese eje que pide el problema.

Como tú dices, aplicando el principio de superposición se halla, pero no estoy de acuerdo en la simplificación que consideras.

Sin tener en cuenta las masas puntuales que pide el problema, según lo que dices el momento de inercia respecto al eje del enunciado sería la de un cuadrado cuando en realidad es [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Date cuenta que ese eje que corta por la mitad los lados opuestos del rombo no es de simetría. Si no lo ves prueba a calcular los productos de inercia respecto a este eje y uno perpendicular que pase por el centro del rombo. Si uno de los dos ejes fuera de simetría, entonces los productos son nulos, cosa que no sucede.

Un saludo

[user_guide]

Re: Tensores de inercia

Si trazamos un eje que pase por las dos masas puntuales... ¿podríamos hacer una descomposición del rombo en 4 triángulos, de modo que el tensor de inercia fuese cuatro veces el tensor de un triángulo con respecto al origen? ¿Cómo tendríamos que hacer los cálculos?

[Fastolfe]

Re: Tensores de inercia

La verdad es que sí es algo enredosa, lo hago así para conseguir un tensor de inercia de una forma más rápida, pero también podríamos calcular directamente la inercia desde ese eje que pide el problema.

Como tú dices, aplicando el principio de superposición se halla, pero no estoy de acuerdo en la simplificación que consideras.

Sin tener en cuenta las masas puntuales que pide el problema, según lo que dices el momento de inercia respecto al eje del enunciado sería la de un cuadrado cuando en realidad es [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Date cuenta que ese eje que corta por la mitad los lados opuestos del rombo no es de simetría. Si no lo ves prueba a calcular los productos de inercia respecto a este eje y uno perpendicular que pase por el centro del rombo. Si uno de los dos ejes fuera de simetría, entonces los productos son nulos, cosa que no sucede.

Un saludo

Eso lo sé.....pero para simplificar el ejercicio es mejor el calculo que le dije antes, no estoy desmereciendo tu aporte, si el quiere calcular la inercia sobre los dos ejes y el producto de esta, simplemente a la inercia del rectangulo, le calculas una inercia en un eje a 60º, y listo.{cuidado: para calcular la inercia, usa la inercia de un rectangulo, ya que la altura del rombo es h=a*cos(60º)}

[Jordiel]

Re: Tensores de inercia

Si trazamos un eje que pase por las dos masas puntuales... ¿podríamos hacer una descomposición del rombo en 4 triángulos, de modo que el tensor de inercia fuese cuatro veces el tensor de un triángulo con respecto al origen? ¿Cómo tendríamos que hacer los cálculos?

Perfectamente, pero no hay que olvidarse de aplicar steiner. Para calcular la inercia respecto al eje que pasa por las masas puntuales sería 4 veces la inercia del triángulo rectángulo más 4 veces la masa del triángulo por la distancia al eje elevado al cuadrado. Con el eje perpendicular se trabaja igual pero hay que añadir el efecto de las masas puntuales. Por último, los productos de inercia son nulos ya que los ejes son principales de inercia (por steiner también lo puedes sacar).

Con todo esto ya tienes el tensor. La solución que di está en función de la masa del rombo entero, que son 4 veces la masa del triángulo

[Jordiel]

Re: Tensores de inercia

Eso lo sé.....pero para simplificar el ejercicio es mejor el calculo que le dije antes, no estoy desmereciendo tu aporte, si el quiere calcular la inercia sobre los dos ejes y el producto de esta, simplemente a la inercia del cuadrado, le calculas una inercia en un eje a 60º, y listo.

Ahora caigo. Pues creo que esta forma de hallar la inercia no es rápida, sino rapidísima. No se me habría ocurrido plantearlo así, será por manías de buscarle tres pies al gato

Saludos

[woodyalex]

Re: Tensores de inercia

Hola yo tengo esactamente el mismo problema con el mismo ejercicio, y queria saber si la forma en que se me ocurrio plantearlo a mi es la correcta(probablemente es mas complicada que las otras pero quiero saber si esta bien por un tema de conceptos), yo como soy bastante ceporron con el tema de los limites de integracion se me ocurrio hacer el tensor de inercia con respecto a un vertice del rombo, lo que a mi me resulta mas facil que respecto a cualquier otro punto eso ya cada cual, asi puedo dividir el rombo en 2 triaungulos y un cuadrado y hacer el tensor de inercia con respecto a ese vertice(que es lo que realmente pide el problema, el tensor de inercia , no el momento de inercia con respecto al eje), luego multiplicando por el vector unitario en la direccion del eje x(sobre ese eje se asienta la base del rombo) obtengo el momento con respecto al eje de la base, y con Steiner el moemnto respecto al eje EF que pasa sobre el CM del rombo.
P.D: Igual peco de inocente , pero ¿para que hayais el momento con respecto al eje y no el Tensor respecto a un puto (el que apetezca supongo ya que el problema no especifica)
Por cierto para utilizar el teorema de Steiner para ejes hacia solo falta que estos fueran paralelos entre si y que uno pasara por el centro de masas, o tambien tenian que ser perpenticulares a la superficio del solido, me explico es que en este problema el eje en cuestion esta contenido en el objeto, no es perpenticular a el y no me acuerdo muy bien si aqui se podia utilizar Steiner, aun asi la duda de por que hayais el momento respecto al eje en vez del Tensor sigue ahí. a ver si alguien puede responderme... que este problema entro en el examen del año pasado y me gustaria saberlo no vaya a ser que suspenda