2o ciclo Duda partícula que se mueve por una cuña circular

[SCHRODINGER27]

Hola buenas, resolviendo problemas de mecánica analítica para mi examen de julio, me ha surgido una duda y mi profesor no me la quiere resolver. El problema es el siguiente:



La duda, más que nada, consiste en cómo hallar las coordenadas generalizadas, cómo hallar las coordenadas y a partir de ahí la energía cinética y la energía potencial. El lagrangiano, las cantidades conservadas y las ecuaciones del movimiento ya salen "solas".

También, en el último apartado, el d), la velocidad al abandonar, no sé sacarla.

Agradezco de antemano cualquier ayuda posible. Muchísimas gracias y siento las molestias.

[felmon38]

Re: Duda partícula que se mueve por una cuña circular

Como coordenadas generalizadas puedes tomar el ángulo polar de m, siendo el radio polar el radio del arco de la cuña y el desplazamiento de la cuña, como la segunda coordenada.
Saludos

[Richard R Richard]

Re: Duda partícula que se mueve por una cuña circular

También, en el último apartado, el d), la velocidad al abandonar, no sé sacarla.

En la posición inicial la energía mecánica solo se compone de energía potencial, la masa esta ubicada a una altura igual al radio, cuando sale la energía mecánica solo se compone de energía cinética, la energía potencial ( con altura nula) es 0, la masa sale a la velocidad $v_m$ que debes despejar, también se moverá la cuña con $v_M$. Cuando iguales la energía mecánica inicial con la final, por el principio de conservación de la cantidad de movimiento, el centro de masas debe quedar inmóvil con respecto a su posición original antes de soltar la masa, lo que te dará una segunda ecuación para establecer una relación entre las masas m y M y la velocidades$v_m$ y $v_M$.

Es como el contraejemplo del choque inelástico, donde dos masas chocan y continúan su trayectoria unidas, aquí es la inversa están tocándose y luego se separan, y sirven las misma formulas.

[SCHRODINGER27]

Re: Duda partícula que se mueve por una cuña circular

Felmon38, pero, en términos de x e y, ¿cómo se elegiría? Me refiero, un péndulo, sí que es

$<br /> x = l sen \theta <br />$
$<br /> y = - l cos \theta<br />$

Pero no llego a entender cómo "parametrizar" ese ejercicio.

Richard R Richard, muchas gracias por tu ayuda, voy a intentarlo.

Mil gracias a ambos.

[felmon38]

Re: Duda partícula que se mueve por una cuña circular

SCHRODINGER, como la energía cinética es respecto del sistema inercial, el sistema de ejes que utilices debe de estar unido a él y no a la cuña. Tomando el origen del sistema de ejes, en el centro del arco en el instante inicial, y las direcciones x e y (por tradición) en las direcciones horizontal y vertical respectivamente, las coordenadas de m respecto del sistema inercial serán:

x=r.cosq₁ + q₂

y=-r.senq₁




Derivando, tienes la velocidad de m respecto del sistema inercial. Sobre el apartado d), creo que hay continuidad en la velocidad de m, porque la fuerza que actúa sobre ella está acotada.

Saludos

[SCHRODINGER27]

Re: Duda partícula que se mueve por una cuña circular

Ya me ha salido justo lo mismo que el profesor, lo tengo correcto, muchísimas gracias Felmon38!!

[Gottfried]

Re: Duda partícula que se mueve por una cuña circular

Ya me ha salido justo lo mismo que el profesor, lo tengo correcto, muchísimas gracias Felmon38!!

Hola SCHRODINGER27, podrías decirme cuánto te ha dado la velocidad del apartado d?

[SCHRODINGER27]

Re: Duda partícula que se mueve por una cuña circular

Hola SCHRODINGER27, podrías decirme cuánto te ha dado la velocidad del apartado d?

$v = - \sqrt{\frac{2MgR}{m+M}}$

[Gottfried]

Re: Duda partícula que se mueve por una cuña circular

$v = - \sqrt{\frac{2MgR}{m+M}}$

Bien, como dijo Richard R Richard ese resultado se puede obtener considerando la conservación de la cantidad de movimiento en el eje $x$ y planteando la conservación de la energía mecánica, ahora, tú lo has hecho así o lo obtuviste de las ecuaciones que obtienes al plantear las ecuaciones de Euler-Lagrange? Porque he intentado obtenerlo a partir de ellas y no lo he logrado.

[SCHRODINGER27]

Re: Duda partícula que se mueve por una cuña circular

Bien, como dijo Richard R Richard ese resultado se puede obtener considerando la conservación de la cantidad de movimiento en el eje $x$ y planteando la conservación de la energía mecánica, ahora, tú lo has hecho así o lo obtuviste de las ecuaciones que obtienes al plantear las ecuaciones de Euler-Lagrange? Porque he intentado obtenerlo a partir de ellas y no lo he logrado.

Lo he obtenido como dijo Richard R Richard, aplicando leyes de conservación.