Otras carreras Interpretación proporcionalidad del tiempo y espacio, dos ejemplos

[alexpglez]

Una lagrangiana proporcional a otro llevará a las mismas ecuaciones de movimiento, por lo que si cambiamos la escala de tiempo, cambiaremos acorde la escala del espacio.
$x -> \alpha x$
$t -> \beta t$
$v -> \frac{\alpha}{\beta} v$

$$L=T(v)+V(x) -> \frac{\alpha^2}{\beta ^2}T(v)+\alpha^k V(x)=\alpha ^k L$$

Donde k es el grado de x en V. Implica que:

$$\frac{\alpha^2}{\beta ^2}=\alpha^k \;\;\; \beta=\alpha^{1-\frac{1}{2} k}$$

Entonces:

$$\frac{t'}{t}=(\frac{x'}{x})^{1-\frac{1}{2} k}$$

Pero no entiendo muy bien a lo que esto se refiere, x' y x son las distancias recorridas en t y t'¿?
Para caída en física terraplanar k=1:

$$\frac{t'}{t}=\sqrt{\frac{x'}{x}}$$

Esto es deducible $x'=\frac{1}{2} a t'^2$ y $x=\frac{1}{2} a t^2$, dividiendo las expresiones, pero cuando hay velocidad inicial no...¿?

Para el campo gravitatorio k=-1:

$$\frac{t'}{t}=(\frac{x'}{x})^{\frac{3}{2}}$$

Esto indica el libro que es la 3 ley de kepler.
Pero para t'=T' y t=T, no sería x' y x no serían longitudes de la elipse¿?

Saludos

[Alriga]

Re: Interpretación proporcionalidad del tiempo y espacio, dos ejemplos

Para el campo gravitatorio k=-1:

$$\frac{t'}{t}=(\frac{x'}{x})^{\frac{3}{2}}$$

Esto indica el libro que es la 3 ley de kepler.
Pero para t'=T' y t=T, no sería x' y x no serían longitudes de la elipse¿?
Saludos

No, no son las longitudes de la elipse, en la 3ª Ley de Kepler x y x' son los semiejes mayores.
A cada período le corresponde un único semieje mayor, pero no una única elipse, pues con el mismo semieje mayor existen muchas elipses de diferentes excentricidades.
(La longitud de una elipse es función del semieje mayor y de la excentricidad. Por cierto, el cálculo de la longitud de una elipse a partir de su semieje mayor y su excentricidad no admite una fórmula sencilla, como sí existe para el círculo, $L=2 \pi R$, la longitud de la elipse se calcula a través de una integral que no tiene primitiva)
Saludos.

[arivasm]

Re: Interpretación proporcionalidad del tiempo y espacio, dos ejemplos

$$\frac{t'}{t}=(\frac{x'}{x})^{1-\frac{1}{2} k}$$

Pero no entiendo muy bien a lo que esto se refiere, x' y x son las distancias recorridas en t y t'¿?

Fíjate en lo que tú mismo has escrito al comienzo: si en un movimiento determinado se cambia la escala de tiempos y se hace un cambio acorde en la escala de las coordenadas espaciales entonces la lagragiana será tal que conducirá a las mismas ecuaciones de movimiento. Es decir, el movimiento será esencialmente el mismo.

La idea es que analizando simplemente las transformaciones de escala que conducen a las mismas ecuaciones de movimiento podamos obtener conclusiones respecto de éste en la línea del párrafo anterior.

Así pues, no son distancias recorridas sino algo más general: coordenadas espaciales.

Para caída en física terraplanar k=1:

$$\frac{t'}{t}=\sqrt{\frac{x'}{x}}$$

Esto es deducible $x'=\frac{1}{2} a t'^2$ y $x=\frac{1}{2} a t^2$, dividiendo las expresiones, pero cuando hay velocidad inicial no...¿?

No exactamente. También podría haber velocidad inicial, pero la del segundo movimiento debe ser igual a la del primero multiplicada por $\alpha/\beta=\alpha^{k/2}$, que en este caso vale $\alpha^{1/2}=(x'/x)^{1/2}$.

Del mismo modo podría tratarse de movimientos con una posición inicial diferente del origen, pero siempre y cuando $x'_0/x_0=\alpha$.

Para el campo gravitatorio k=-1:

$$\frac{t'}{t}=(\frac{x'}{x})^{\frac{3}{2}}$$

Esto indica el libro que es la 3 ley de kepler.
Pero para t'=T' y t=T, no sería x' y x no serían longitudes de la elipse¿?

Insisto en la idea del escalado: se trata de reemplazar una elipse por otra cuyas coordenadas se multiplican por una cantidad $\alpha$. La trayectoria del segundo movimiento es una ampliación (en el sentido fotográfico del término) de la del primero.

La consecuencia es que el escalado que afecta a los tiempos sigue la relación anterior.

Por supuesto, podemos tomar como referencia para el primer escalado la distancia entre periastro y apoastro (que es el doble del semjeje mayor), si se trata de una elipse, y para el escalado del tiempo el que corresponde al período orbital, de manera que la proporción se corresponde inmediatamente con la 3ª ley de Kepler.

Ahora bien: no significa que hayamos demostrado la 3ª ley de Kepler, sino que el resultado es consistente con ella. Recordemos que la 3ª ley de Kepler se cumple al escalar sólo el semieje mayor, con independencia de que se aplique un escalado *diferente* al semeje menor (lo que desplaza, además, el foco de la 2ª elipse respecto del de la primera).

Por otra parte, el significado de la proporción que mencionas es más profunda, pues nos permite pensar en órbitas no necesariamente cerradas. Así, nada impide plantearse, por ejemplo, qué sucederá con el tiempo el que corresponde al tránsito desde el periastro hasta el punto en que el radiovector ha girado 90º respecto del anterior si se aplica un escalado a una trayectoria hiperbólica o parabólica si se aplica un escalado a las coordenadas espaciales (el mismo en X que en Y). Así, por ejemplo, si dos trayectorias son tales que las distancias, medidas desde el astro central, son dobles para una que para la otra entonces el tiempo anterior será $\sqrt{8}$ veces mayor en la primera que en la segunda.

[alexpglez]

Re: Interpretación proporcionalidad del tiempo y espacio, dos ejemplos

Y esto se cumple para trayectorias con proporcionales condiciones iniciales o constantes de movimiento¿?
Y en el caso del gravitatorio como se puede la acción gravitatoria no discrimina entre el valor de la masa del cuerpo atraído, en otras palabras, puedes construir una lagrangiana proporcional sin que intervenga la masa de la partícula, y en consecuencia la tercera ley de kepler o nuestra fórmula general obtenida vale para cualquier masa (despreciando la aceleracion gravitatoria que genera un planeta sobre el Sol, por ejemplo) ¿?

[arivasm]

Re: Interpretación proporcionalidad del tiempo y espacio, dos ejemplos

No sé si habré entendido bien tus preguntas.

Y esto se cumple para trayectorias con proporcionales condiciones iniciales o constantes de movimiento¿?

De algún modo la respuesta reside en una cuestión de análisis dimensional. Por ejemplo, el momento angular por unidad de masa de una de las partículas será igual al de la otra escalado por un factor $\alpha^2/\beta$.

Y en el caso del gravitatorio como se puede la acción gravitatoria no discrimina entre el valor de la masa del cuerpo atraído, en otras palabras, puedes construir una lagrangiana proporcional sin que intervenga la masa de la partícula, y en consecuencia la tercera ley de kepler o nuestra fórmula general obtenida vale para cualquier masa (despreciando la aceleracion gravitatoria que genera un planeta sobre el Sol, por ejemplo) ¿?

Una cuestión esencial de la fuerza gravitacional es su proporcionalidad con la masa de las partículas, lo que se traduce en que sucede lo mismo con la energía potencial y entonces (por la igualdad entre masa inercial y gravitatoria) en que el movimiento puede ser descrito a través de magnitudes en las que no interviene la masa de la partícula móvil (siempre y cuando ésta se pueda despreciar frente a las de las demás que originan el campo). Como consecuencia, al ser independiente el movimiento de las características de la partícula móvil, las operaciones de escalado que se tratan en este hilo nos permiten comparar movimientos para partículas diferentes, y llegar a conclusiones compatibles con la 3ª ley de Kepler, por ejemplo.

La situación será diferente si intervienen características de la partícula. Un ejemplo es el movimiento bajo fuerzas coulombianas (del que prescindiremos, para entendernos con más facilidad, de los términos electromagnéticos): como en la energía potencial interviene la carga de la partícula móvil, en su langrangiana aparece ésta junto con la masa (vía energía cinética). Los escalados aplicados a coordenadas espaciales y tiempo nos permiten extraer conclusiones respecto de trayectorias diferentes de la misma partícula (o de otra, con tal de que posea la misma relación carga/masa, en este caso).

De todos modos, como dije al principio, no entiendo bien tu pregunta.