2o ciclo Sobre la estabilidad de un sistema dinámico linealizado

[Visitante]

Hola

Tengo ante mí un problema teóricamente simple de estabilidad, pero que me plantea una duda. Debo estudiar la estabilidad en los puntos de equilibri del sistema definido por:

x'= x^2 + y^2 -2
y' = x^2 - y^2

(Donde los símbolos ' denotan derivadas respecto a t)

Que cumple los requisitos para estudiar la estabilidad para la aproximación lineal, que consiste en estudiar el sistema en el entorno del origen, con lo que se desprecian los términos de orden superior a uno de x e y No obstante, en una de las funciones despreciar estos términos daría una función nula y en la otra una constante, 2, que no se puede igualar a cero para hallar el punto de equilibrio. ¿Me podríais explicar cómo solventar este problema?

Muchas gracias.

[felmon38]

Re: Sobre la estailidad de un sistema dinámico linealizado

Aparte del origen, ¿no tienes otros puntos que estén en equilibrio?
Saludos

[Jose D. Escobedo]

Re: Sobre la estailidad de un sistema dinámico linealizado

No hay equilibrio en el origen. En el origen (0,0) $\dot x=0^2+0^2-2=-2$ hay movimiento por lo tanto no esta en equilibrio. Los puntos de equilibrio son: (1,1), (-1,-1), (-1,1) y (1,-1) y si no me equivoco de acuerdo con el grafico que obtengo tienes dos "saddle points", un "repeller" y un attractor.

saludos

[felmon38]

Re: Sobre la estailidad de un sistema dinámico linealizado

Se me fué el -2.

Saludos

P.D.¡Ahhh! Pero y'' =o ¿No es esta y x''=o la condición de equilibrio? (pregunto)

[Jose D. Escobedo]

Re: Sobre la estailidad de un sistema dinámico linealizado

felmon38, tienes que revisar el entorno (neighborhood). Es cierto que $\ddot x =0$ y que $\ddot y =0$ para el equilibrio dinamico, pero para el equilibrio cinematico que? Si se depositara una partícula en el origen esta se movería con una velocidad igual a -2 en la direction de las x. Despues la aceleración hará su "trabajo"
Tambien $\ddot x = 2x \dot x+2y \dot y$ y $\ddot y= 2x\dot x-2y\dot y$ donde se ve que si $\dot x=0$ y $\dot y = 0$ entonces las aceleraciones son cero.

Saludos

[Visitante]

Re: Sobre la estailidad de un sistema dinámico linealizado

felmon38, tienes que revisar el entorno (neighborhood). Es cierto que $\ddot x =0$ y que $\ddot y =0$ para el equilibrio dinamico, pero para el equilibrio cinematico que? Si se depositara una partícula en el origen esta se movería con una velocidad igual a -2 en la direction de las x. Despues la aceleración hará su "trabajo"
Tambien $\ddot x = 2x \dot x+2y \dot y$ y $\ddot y= 2x\dot x-2y\dot y$ donde se ve que si $\dot x=0$ y $\dot y = 0$ entonces las aceleraciones son cero.

Saludos

Muchas gracias. Entonces por lo que dices, para casos como este donde el sistema es autónomo y los autovalores de la matriz jacobiana en los puntos de equilibrio no son imaginarios se pueden utilizar métodos de análisis lineal a pesar de tener términos de orden superior a 1? Es decir, analizar las soluciones de la ecuación característica y en base a los autovalores establecer el caracter de la estabilidad sin despreciar términos cuadráticos? Pensaba que sólo se podía hacer eso haciendo la aproximación lineal por Taylor de la función original, pero en este caso no puede utilizarse dicha aproximación.

[Jose D. Escobedo]

Re: Sobre la estailidad de un sistema dinámico linealizado

Muchas gracias. Entonces por lo que dices, para casos como este donde el sistema es autónomo y los autovalores de la matriz jacobiana en los puntos de equilibrio no son imaginarios se pueden utilizar métodos de análisis lineal a pesar de tener términos de orden superior a 1? Es decir, analizar las soluciones de la ecuación característica y en base a los autovalores establecer el caracter de la estabilidad sin despreciar términos cuadráticos? Pensaba que sólo se podía hacer eso haciendo la aproximación lineal por Taylor de la función original, pero en este caso no puede utilizarse dicha aproximación.

Si se puede utilizar el polinomio de Taylor, es mas solamente con el polinomio de newton se puede hacer de manera algebraica truncando los terminos no lineales, el detalle es saber lo que estas haciendo. De cualquier forma el comportamiento es local para los terminos no lineales, asi que tienes que encontrar los puntos de equilibrio primero y luego cuando los tienes lo siguiente es calcular los "eigenvalues" de el jacobiano o la matriz jacobiana. Algo importante es que cuando se obtienen "eigenvalues" puramente imaginarios y es de terminos no lineales, se tiene que usar otro tipo de criterio para determinar si esos puntos de equilbrio son estables o no. Con geogebra por ejemplo yo supe que tipos de los puntos de equilibrio tenias.

Saludos