1r ciclo Muelle balanceado como un péndulo

[loreincurie]

Hola a todos,
Soy alumna de ingeniería en telecomunicaciones y esta es mi primera intervención. Estoy estudiando un movimiento de un muelle colgado de un soporte, del cual cuelga una masa, y que hago balancear de derecha a izquierda como si fuera un péndulo simple. Mi sorpresa fue ver que el movimiento final es la composición de dos tipos de oscilaciones: a veces, el sistema se comporta como un péndulo simple, balanceándose de un lado a otro sin oscilar en forma de muelle. Otras veces, el movimiento es una combinación de los dos, es decir, oscila de arriba a abajo como un muelle y de un lado a otro como un péndulo.
De Feynman leí el principio de mínima acción, que me trajo ideas curiosas. En cuanto al péndulo simple, la trayectoria que sigue es tal pues minimiza la acción, entendida como la integral de la diferencia de energía cinética y potencial. Podría decir por tanto, que lo que está minimizando ese péndulo es la diferencia de energía cinética y potencial gravitatoria. En el caso del muelle, la idea sería la misma pero incluyendo la energía elástica, y que se mueve de arriba a abajo.
Mi pregunta es, en los casos que mi "péndulo" tiene la misma trayectoria que un péndulo simple, ¿Podría afirmar que la energía elástica es 0, ya que sigue la misma trayectoria que la que minimiza la acción cuando en la integral solo existe la componente de energía cinética y la gravitatoria?
Pido disculpas si al intentar explicarme, algunos de los conceptos son erróneos. Aún estoy aprendiendo.
Gracias de antemano!

[Richard R Richard]

Re: Muelle balanceado como un péndulo

cuando el muelle esta en equilibrio reposo su longitud es

$L=L_o+\Delta x=L_o+\dfrac {mg}k$

y la energia acumulada sera

$E_{pe}=\frac 12 k \Delta x^2$

Mi pregunta es, en los casos que mi "péndulo" tiene la misma trayectoria que un péndulo simple, ¿Podría afirmar que la energía elástica es 0,.....?

Entonces la pregunta pasa por saber si la longitud $L_m$ de tu pendulo mientras se mueve es mayor menor o igual a $L_o$ y como es a la vez con respecto a $L$


Si la longitud cambia ,cambia el periodo, y a la vez la trayectoria. Tu que opinas sera cero la $E_{pe}$ mientas oscile ?
Cuando esta oscilando en punto en que el angulo con la vertical es cero, cual es la diferencia con el caso en reposo , podrias concluir que la longitud es la misma? La respuesta es que no.

Saludos $\mathbb R^3$

[felmon38]

Re: Muelle balanceado como un péndulo

Hola, perdona que no me vaya a tu terreno y que te lo explique como lo veo yo. Por el principio de mínima acción se llega a las ecuaciones de Lagrange que resuelven el problema de dos grados de libertad: el ángulo de giro y el desplazamiento del resorte, que lo puedes resolver en el caso de ángulos pequeños. La solución depende de las condiciones iniciales de desplazamientos y velocidades. En función de éstas se puede conseguir que el sistema se comporte como un péndulo o como un resorte o como una combinación lineal de ambas soluciones.
Saludos

P.D. Saludos R³. Ha habido solapamiento

[loreincurie]

Re: Muelle balanceado como un péndulo

Muchas gracias!
Pero entonces, si la energía potencial elástica es distinta de 0, ¿Por qué en algunas oscilaciones se comporta como un péndulo simple? ¿No debería oscilar como un muelle siempre, a la par que como un péndulo, ya que es la trayectoria que minimiza el Lagrangiano cuando incluímos la energía potencial elástica? ¿Qué podría explicar ese fenómeno?
¿No es posible que la energía potencial elástica valga 0 en el momento que comienza a oscilar como un péndulo simple?

[felmon38]

Re: Muelle balanceado como un péndulo

Loreincurie, el principio de mínima acción minimiza la integral de L, lo que no da resultados tan sencillos como los que indicas. Te animo a resolver el problema, que es clásico en vibraciones con dos grados de libertad, en donde se deduce el movimiento del sistema en función de las condiciones iniciales, ( al dicho resultado tenemos que ir acomodando nuestra intuición ) sabiendo que el resultado cumple el principio de la mínima acción, o también, los postulados de Newton.
Saludos

[Richard R Richard]

Re: Muelle balanceado como un péndulo

¿No es posible que la energía potencial elástica valga 0 en el momento que comienza a oscilar como un péndulo simple?

Planteate cuales serian las condiciones iniciales para que eso suceda, y creo que pillaras la solucion inmediatamente. Sino haz un diagrama de cuerpo libre , planteate hacia donde se moverá inmediatemente luego de liberarlo, y analiza si oscilara como pendulo simple.

Comentanos eso y que concluyes o donde te trabas.


Saludos $\mathbb R^3$

[arivasm]

Re: Muelle balanceado como un péndulo

Si no me equivoco el sistema descrito es un ejemplo de sistema caótico, de manera que una pequeña variación de las condiciones iniciales conduce a comportamientos totalmente diferentes. En consecuencia, aunque sobre el papel es posible encontrar condiciones iniciales correspondientes a un único modo normal de vibración* (de las que la más obvia es la oscilación estrictamente vertical), en la práctica cualquier minúscula desviación respecto de las mismas llevará al sistema a superposiciones impredecibles de los modos de vibración.

Por otra parte, el diseño del resorte es esencial, de manera que posiblemente deban tomarse en consideración *tres* términos en la energía potencial: la gravitatoria, la elástica de elongación *y* la elástica de torsión.

*Y apuesto que ninguno incluye la oscilación como péndulo simple (es decir, con longitud del resorte constante).

[felmon38]

Re: Muelle balanceado como un péndulo

Arivasm, supongo que el comportamiento caótico ocurrirá a partir de ciertos valores de los parámetros, porque, en general, el comportamiento de un péndulo de un reloj es predecible y el péndulo no es un sólido rígido aunque con una k muy grande. Si te lo piden, habrá que tener en cuenta la torsión, pero creo que teóricamente se puede asumir un comportamiento lineal del resorte, por lo que opino que el problema planteado por loreincurie es razonable y no tiene por qué abandonarlo.
Saludos

[justinux]

Re: Muelle balanceado como un péndulo

Hola,
Respecto de algo que se mencionó más arriba. Echándole un ligero vistazo a las ecuaciones de movimiento, e imponiendo la solución correspondiente a que la variable angular oscile como un péndulo simple y la variable radiial permanezca fija, parece que no es compatible con las ecuaciones de Euler-Lagrange. Esencialmente hay dos ecuaciones diferenciales, una de segundo orden para el ángulo (en esencia la componente tangencial) y la otra de primer orden que correspondería a la relación entre la aceleración centrípeta y las fuerzas elásticas y gravitatorias. La primera de ellas si es un movimiento armónico simple (pequeñas oscilaciones), pero la segunda de ellas no parece compatible con dicho movimiento. (haciendo que las velocidades y aceleraciones radiales sean cero). Luego en principio yo diría que no hay condiciones iniciales tales que el movimiento sea solo de oscilación pendular.
Las ecuaciones completas son no lineales y muy probablemente darán comportamiento caótico como apunta arribas, pero tal cosa no lo he comprobado.
Saludos

[loreincurie]

Re: Muelle balanceado como un péndulo

Se me olvidó decir que mi comentario viene provocado por un hecho de tipo experimental, es decir, no he llegado a ninguna conclusión pensando en términos matemáticos sino que he cogido un muelle, le he colgado una masa y lo he puesto a oscilar de derecha a izquierda. La sorpresa para mi ha sido ver que cada X períodos, mi "péndulo" hace una oscilación muy parecida a la de un péndulo simple, sin oscilar en forma de muelle. Lo probamos antes en clase de física, y el resultado era el mismo con otro muelle y masa distintas. Mi profesor no pareció sorprendido y eso me intriga aún más. ¿Creen que se puede explicar?

[alexpglez]

Re: Muelle balanceado como un péndulo

Razonando lógicamente, y esto supongo que con ecuaciones quedaría más claro, hay dos tipos de movimientos, uno solo oscilatorio, la posicion del péndulo inicial es la del equilibrio y no hay velocidad inicial en la coordenada angular, en ese caso la ecuacion para la radial es la misma que la de un armonico simple.
Si el pendulo oscila, siempre queda un termino oscilante en la ecuacion del muelle o dicho de otra manera, puedes pensar en como afecta la gravedad a el sistema, si el angulo que forma con el eje y es 0, la gravedad tira del muelle sobre todo, si esta en 90, la gravedad tira solo del pendulo, por tanto los dos oscilan, aunque como dices, si el pendulo tiene oscilaciones pequeñas, practicamente puede el muelle oscilar casi nada.
Y hay un tercero que es que se encuentra en reposo total.

Para verlo más claro, sería que planteases las ecuaciones de movimiento.

Saludos

[Richard R Richard]

Re: Muelle balanceado como un péndulo

La sorpresa para mi ha sido ver que cada X períodos, mi "péndulo" hace una oscilación muy parecida a la de un péndulo simple, sin oscilar en forma de muelle. ¿Creen que se puede explicar?

Mi explicación es que los cálculos que haces matemáticamente con las integrales y los lagrangianos son ideales, y algunas las soluciones de las ecuaciones responden a modelos simplificados ($\alpha$ pequeño es un ejemplo), otra simplificación es que no tienes aplicada la resistencia del aire al movimiento del péndulo.
Aunque mínimo el rozamiento va cambiando lentamente el periodo del péndulo, haciendo que en determinado momento haya sincronía, entre el periodo de oscilacion del resorte, y del vaiven del péndulo, cuando se da esa situación , a la vista parece que el péndulo funciona como un péndulo simple , pero si observas en detalle la trayectoria no se corresponderá con un arco de circunferencia, sino que en el punto mas bajo de la trayectoria, el resorte se había contraído, para compensar parte de la energía potencial que tenia cuando estaba en su altura máxima en cualquiera de los lados, la parte faltante de energia corresponde a la energía cinética debida al movimiento de oscilación

es decir cuando parece funcionar como péndulo simple

$\omega_r=\sqrt{\frac km}=\sqrt{\frac gL}=\omega_p=\frac{2\pi}{T}$

La perdida de energía mecánica por rozamiento, que depende de en dirección y sentido contraria y proporcional a la velocidad de la masa, frenara el movimiento no llegando nuevamente hasta la altura máxima, ampliando el periodo pues se estira el resorte, y como los dos primeros términos son casi constantes, la igualdad se quiebra pasando a un movimiento caótico. Como la amplitud de los movimientos horizontales y de los verticales son independientes , la componente del rozamiento en esas direcciones sera distinta y no se restituirá el equilibrio armónico.

$\omega_r=\sqrt{\frac km}\neq\sqrt{\frac Lg}=\omega_p=\frac{2\pi}{T}$

y así luego verás a la masa oscilar haciendo ochos u otro tipo de trayectoria.

Saludos $\mathbb R^3$

[felmon38]

Re: Muelle balanceado como un péndulo

justinux, siendo q₁ el alargamiento del resorte y q₂ el ángulo de giro del péndulo, suponiendo pequeñas oscilaciones y un valor grande de k de tal manera que no sea despreciable k.q₁, me salen estas ecuaciones diferenciales:

D²q₁=g - k.q₁/m + l.(Dq₂)²

D²q₂=-2.Dq₁.Dq₂/l

(D²y D derivadas segunda y primeras respecto de t)

Así que, efectivamente, el sistema no es lineal, como decías, pero, si no me he equivocado, aún para pequeñas oscilaciones y me colé al pensar que en este caso se podría poder hablar de los modos de vibración.

loreincurie perdona por mi respuesta anterior porque creí que el problema era más sencillo.

Saludos

[loreincurie]

Re: Muelle balanceado como un péndulo

Gracias a todos. Aunque todas las respuestas son muy buenas, sigo sin entender muy bien por qué mi péndulo oscila de forma tan extraña. Intentaré reproducir el experimento de la forma más detallada que pueda: Desplazo el "péndulo" masa-muelle a la derecha y lo suelto, en las primeras oscilaciones puedo ver grandes movimientos oscilatorios en forma de muelle, arriba y abajo, a la par que de derecha a izquierda como un péndulo simple. Ocurren 5 o 6 oscilaciones y mi muelle se balancea como un pendulo simple, no se contrae ni se estira, durante una oscilación mas o menos. Después vuelve al movimento anterior, estirandose y contrayéndose hasta que otra vez se balancea como un péndulo simple. Y esto se repite hasta que el muelle mas o menos se para. Richard R Richard entiendo lo que quieres decir, pero si el movimiento tiende a ser caótico, ¿por que esa oscilación se repite de forma periódica?
Repito, gracias a todos!!!

[arivasm]

Re: Muelle balanceado como un péndulo

Apuesto que no es periódica: haz un cronometrado de los tiempos entre "ciclos" y nos cuentas.

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Alguna referencia: http://math.arizona.edu/~gabitov/tea...ic_Pedulum.pdf

Y un vídeo:

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Para quien se anime a jugar: http://tf.ugatu.ac.ru/tutors/ag/phys.../spring2d.html