1r ciclo Hallar la energía potencial a partir de un momento

[Etmoides]

Hola. En este problema de mecánica analítica me ha surgido la duda de cómo hallar la energía potencial a partir de un momento. El problema consiste en dos cilindros coaxiales montados de forma que al girar uno respecto del otro un ángulo alfa, aparece un momento M=-k$\alpha$. Debo hallar el potencial para calcular el lagrangiano. En clase se hizo M=-$\partial V/\partial\alpha$=-k$\alpha$ y a partir de esto, integrando, se obtiene la energía potencial V. Pero no tengo claro por qué se establece esa igualdad... ¿Podría alguien aclarármelo?

Gracias de antemano

[felmon38]

Re: Hallar la energía potencial a partir de un momento

¿Podrías aclararnos tú con una figura?
Saludos

[Etmoides]

Re: Hallar la energía potencial a partir de un momento

Claro, perdón. Creo que sería algo así (el problema no trae dibujo):




Y el problema completo dice lo siguiente:

"Un cilindro homogéneo de masa m y radio R está montado coaxialmente a otro cilindro de masa m y radio 2R. El cilindro externo puede rodar sin deslizar sobre la superficie horizontal y el interno puede rotar sin fricción alrededor del eje común de ambos, pero hay un muelle que conecta los dos cilindros que produce un momento M = −k α cuando el cilindro interno ha girado un ángulo α con respecto al externo. Solucionar las ecuaciones de movimiento del sistema si inicialmente los dos cilindros se encuentran en reposo pero el interno está rotado un ángulo ${\alpha}_{0\cdot }$ respecto al externo."

[felmon38]

Re: Hallar la energía potencial a partir de un momento

¡Ah! Se trata de un muelle de tosión en donde el par de torsión es propocional al ángulo de torsión: M=-k.α, y V será - $\int$M.dα=k.α²/2
Saludos

PD En las igualdades de clase debes conmutar los términos de la segunda igualdad

[Etmoides]

Re: Hallar la energía potencial a partir de un momento

Pero ¿y esa igualdad de dónde viene? Es lo que quiero saber para poder aplicarlo a sabiendas de lo que hago si me encuentro ante un problema de este tipo...

[felmon38]

Re: Hallar la energía potencial a partir de un momento

Añadí en mi post una aclaración respecto de las igualdades que te han puesto en clase, que creo que para entederlas debes cambiar el orden y hacerlo como te he indicado en mi post. La energía potencial del muelle es el trabajo realizado por las fuerzas que actúan sobre él, así que.en este caso, la derivada de V respecto del ángulo de giro, es ell valor del par sobre el cilindro, que es lo que aparece en las igualdades.
Saludos

[Alriga]

Re: Hallar la energía potencial a partir de un momento

Pero ¿y esa igualdad de dónde viene? Es lo que quiero saber para poder aplicarlo a sabiendas de lo que hago si me encuentro ante un problema de este tipo...

La energía potencial se obtiene integrando el trabajo en un cambio infinitesimal.

Recuerda que en un muelle lineal el trabajo es la fuerza por el desplazamiento:

$F=-k \cdot x$

$dU=F \cdot dx=-k \cdot x \cdot dx$

$\dst U=- \int_0^x -k \cdot x \cdot dx = \dfrac 1 2 k \cdot x^2$

En un muelle de torsión se procede igual, solo que ahora el trabajo es el par por el ángulo:

$M=-k \cdot \alpha$


$dU=M \cdot d \alpha=-k \cdot \alpha \cdot d \alpha$


$\dst U=- \int_0^\alpha -k \cdot \alpha \cdot d \alpha = \dfrac 1 2 k \cdot \alpha^2$

Saludos.

[Etmoides]

Re: Hallar la energía potencial a partir de un momento

Ahhh, de acuerdo. Gracias a los dos!