Otras carreras Duda con un lagrangiano sujeto a restricción

[MrTicTac]

Hola, estoy tratando de resolver un problema que consiste en lo siguiente: una partícula se desplaza con módulo de velocidad constante, durante un intervalo de tiempo $\Delta t$. Quisiera encontrar la función de la velocidad (los componentes del vector de velocidad parametrizados en función del tiempo) que hace que la distancia recorrida al cabo de $\Delta t$ sea un extremo (mínimo o máximo).

He intentado plantearlo con el siguiente lagrangiano, pero no estoy seguro de que sea la manera correcta:
$S=\int_{t_{0}}^{t_{1}}{(\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}+\lambda \bold{a}\cdot \bold{v})dt}$
Siendo $\lambda$ el multiplicador lagrangiano, $v_{x}$ y $v_{y}$ los componentes del vector de velocidad $\bold{v}$, y $\bold{a}$ el vector de aceleración. Entendiendo que cuando el módulo de la velocidad es constante, $\bold{a}\cdot \bold{v}=0$.

¿Tienen alguna sugerencia?¿Debería plantearlo con algún otro método?¿O hay alguna bibliografía/página que conozcan en donde se explique un problema similar?

Muchas gracias desde ya.

[Fortuna]

Sin meterme en mecánica lagragiana, creo que el planteamiento del problema es ambiguo.

Si el módulo de la velocidad es constante, la longitud del arco que describe su trayectoria será siempre la misma por cada intervalo fijo de tiempo. Es decir, cualquier función el mismo valor constante de la distancia recorrida.


Si lo que queremos es la distancia al punto de partida, hay soluciones triviales.

Una recta, sobre un plano, $C(t)=C(x(t),y(t))=(x_0+v_{0x}\Delta t,y_0+v_{0y}\Delta t)$ llegará lo más lejos posible, mientras que cualquier otra curva $C(t)=(x(t),y(t))$ tal que $C(t_0)=C(t_1)$, por ejemplo un círculo de radio $r=\frac{v_0 \delta t}{2 \pi}$ no se habrán movido de su sitio.