2o ciclo Principio de mínima acción

[javier m]

Hola, tengo unas pequeñas dudas desde hace varios años acerca del principio de mínima acción.

Es bien sabido que los sistemas físicos evolucionan de tal forma que la acción es extremal, pero ¿qué pasa si existen dos posibles evoluciones que hagan la acción extremal? ¿O eso no es posible? ¿Existe algún teorema al respecto?

En este contexto, ¿existen también análogos a la noción de puntos de silla? ¿Ocurre algo particular en estos casos?

¿Conocen ejemplos en donde algún sistema haga la acción extremal pero no mínima, tal vez máxima o algo que no sea ni lo uno ni lo otro?


Es bueno volver a participar en el foro después de tanto tiempo en el foro.
Un saludo.

[carroza]

Hola.

Es util en este punto ilustrar el principio de mínima acción con un ejemplo en una dimensión. Si tenemos una partícula que en el instante $t_1$ está en la posición $x_1$, y en el instante $t_2$ está en la posición $x_2$, y nos preguntamos cuál es la trayectoria $x(t)$ entre ambos puntos, la respuesta nos la da el principio de mínima acción.

Para ello, partimos de una trayectoria arbitraria $x(t)$, que cumple las condiciones $x(t_1)=x_1, x(t_2)=x_2$. Evaluamos en cada instante de tiempo el lagrangiano, que depende de $x(t), \dot x(t)$, y obtenemos la acción para esa trayectoria

$S[x(t)] = \int_{t_1}^{t_2} L(\dot x(t), x(t)) dt$.

La trayectoria clásica es la que hace a la acción extremal, máxima o mínima, o estacionaria (puntos de silla incluidas). Eso permite que haya varias trayectorias clásicas para un mismo problema. Esto no es sorprendente. Hay varias trayectorias clásicas que podrían llevar a la tierra de un lado al otro del sol, en el intervalo de medio año.

Habitualmente, estos problemas en los que la posición o la velocidad no están acotados, el máximo de la acción es infinito. Podemos imaginarnos que para ir de A a B, sigamos una trayectoria caótica, con una acción arbitrariamente grande. Así que para los problemas mecánicos habituales, los extremales de la acción son siempre mínimos, que pueden ser más de uno.

En el caso de que no haya interacción, el lagrangiano sólo es el término de la energía cinética, con lo que hay un único extremal, que es un mínimo, que corresponde a la línea recta. Esto también ocurre con interacción, en el límite, cuando los puntos iniciales y finales son muy cercanos. En ese caso puede despreciarse la variación del potencial a lo largo de las diferentes trayectorias clásicas, y nos queda que todas las posibles trayectorias clásicas confluyen en la linea recta.

Es interesante en este contexto mencionar la relación con la mecánica cuántica. En mecanica cuántica, todas las trayectorias $x(t)$, que cumple las condiciones $x(t_1)=x_1, x(t_2)=x_2$, son igualmente posibles, no importa como de caótica o descabellada sea la trayectoria. Lo que ocurre es que cada una de ellas está pesada con una fase compleja que va como $exp(i S[x(t)]/\hbar)$ esto hace que, aunque todas las trayectorias sean posibles, solo aquellas en las que $S[x(t)]$ sea extremal, contribuyen. Es la aproximación de fase estacionaria. La contribucion de las otras trayectorias se ve cancelada por el factor rapidamente oscilante $exp(i S[x(t)]/\hbar)$
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No obstante, es posible tener casos en los que hay varias trayectorias que dan una acción mínima. Es lo que ocurre si bloqueamos algunas trayectorias, como es el caso del experimento de la doble rendija. Aqui hay dos trayectorias que nos pueden llevar de la fuente de electrones a la pantalla. Estas dos trayectorias son minimos locales de la acción. Ambas contribuyen, y el efecto de que ambas sean posibles lleva.... (Tachán)...a los fenómenos de interferencia.

Un saludo sin coronavirus

[javier m]

Hola, muchas gracias. Lamento contestar hasta ahora, trataré de pensar un poco acerca de eso porque siento que hay algo que no me cierra completamente.

Saludos saludables.