1r ciclo Hamiltoniano y ecuaciones del movimiento

[pepediaz]

Una partícula puntual de masa m y carga eléctrica q se puede mover en una única dirección horizontal tal. Como se indica en la figura, la partícula está enganchada a un muelle de constante elástica k = mω² y longitud de equilibrio x₀ (definimos la elongación del muelle ξ = x-x₀). Al instante t = 0 comienza a actuar un campo eléctrico que crece linealmente con el tiempo: E(t) = E(t / τ)x.



Escribe hamiltoniano del sistema para t ≥ 0, así como las ecuaciones de movimiento (sin tener en cuenta ningún campo magnético). Usar k = mω² y escríbelo en términos de m y ω.

[Trisko]

Calcularemos primero el Hamiltoniano del sistema, sabemos que es:
$H=\dot{q}_{i}p_{i}-L(q,\dot{q},t)$
Dónde $L(q,\dot{q},t)$ es el lagrangiano del sistema, $\dot{q}_{i}$ la derivada respecto al tiempo de la coordenada generalizada y $p_{i}$ es el momento generalizado de tal coordenada, aplicaríamos el convenio de sumación de Einstein si tuviesemos varias coordenadas pero en éste caso se ve que sólo tendremos una. Consideraremos por tanto nuestra coordenada generalizada $\xi=x-x_{o} \rightarrow \dot{\xi}=\dot{x}$ y calculemos la energía cinética y los potenciales (sabiendo que son conservativos y por tanto derivables de un potencial) correspondientes para obtener el lagrangiano y también el momento generalizado:
$T=\dfrac{1}{2}m\dot{x}^{2}=\dfrac{1}{2}m\dot{\xi}^{2}$
$\vec{F}_{1}=-k(x-x_{o})\vec{i}=-m\omega^{2}\xi\vec{i}=-\nabla V_{1}$
Cómo solo tenemos una dirección nos importa únicamente el gradiente en $\vec{i}$ también es importante saber que $\dfrac{\partial{V(\xi)}}{\partial{x}}=\dfrac{dV(\xi)}{d\xi}\dfrac{\partial{\xi}}{\partial{x}}=\dfrac{dV(\xi)}{d\xi}$ así:
$-m\omega^{2}\xi=-\dfrac{dV_{1}(\xi)}{d\xi}\rightarrow V_{1}=\dfrac{1}{2}m\omega^{2}\xi^{2}$
$\vec{F}_{2}=Q \vec{E}=QE \left(\dfrac{t}{\tau}\right) x \vec{i}=QE \left(\dfrac{t}{\tau}\right) \left(\xi+x_{o}\right) \vec{i}=-\nabla V_{2} \rightarrow V_{2}=-\dfrac{Q \xi E t x_{o}}{\tau}-\dfrac{Q \xi^{2}Et}{2 \tau}$
$L=T-V=\dfrac{1}{2}m\dot{\xi}^{2}-\dfrac{1}{2}m\omega^{2}\xi^{2}+\dfrac{Q \xi E t x_{o}}{\tau}+\dfrac{Q \xi^{2}Et}{2 \tau}$
$p_{\xi}=\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\xi}}=m \dot{\xi} \rightarrow \dot{\xi}=\dfrac{p_{\xi}}{m}$
$H=\dfrac{p^{2}_{\xi}}{m}-\dfrac{1}{2}m\dot{\xi}^{2}+\dfrac{1}{2}m\omega^{2}\xi^{2}-\dfrac{Q \xi E t x_{o}}{\tau}-\dfrac{Q \xi^{2}Et}{2 \tau}$
Ahora las ecuaciones del movimiento las obtendremos a partir de las ecuaciones de Euler- Lagrange, que para el caso en que las fuerzas sean todas conservativas es:
$\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}}\right)-\left(\dfrac{\partial L}{\partial q_{i}}\right)=0$
$\dfrac{\partial L}{\partial \xi}=-m \omega^{2} \xi +\dfrac{Q E t x_{o}}{\tau}+\dfrac{Q \xi Et}{\tau}$
$\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}}\right)=m \ddot{\xi}$
La ecuación del movimiento entonces será:
$m \ddot{\xi}+m \omega^{2} \xi -\dfrac{Q E t x_{o}}{\tau}-\dfrac{Q \xi Et}{\tau}=0$