Lagrangiano a partir de campo de fuerzas

[Phys]

Buenas, tengo este ejercicio y la verdad que no se como proceder, dice así: una particula de masa m se mueve bajo el efecto del campo de fuerzas:
$\vec{F\vec{r})}=(3x^2y+zy^2)i + (x^3+2xyz) j + (y^2x) k$
Calcular el lagrangiano y las ecs. de mov.

[Alriga]

$\vec F(\vec r)=(3x^2y+zy^2) \ \hat i + (x^3+2xyz) \ \hat j + (y^2x) \ \hat k$

Calcula el rotacional del campo vectorial, te saldrá

$\vec{\nabla} \times \vec F=(2xy-2xy) \ \hat i-(y^2-y^2) \ \hat j+(3x^2+2yz-3x^2-2yz) \ \hat k=0$

Si el rotacional es cero, es que el campo deriva de un potencial, (el campo es conservativo)

$\vec F=-\nabla U$

Supongo que el que el campo de fuerzas sea conservativo, simplificará el cálculo del Lagrangiano. Espero que te sirva de ayuda, saludos.

[Phys]

Vale entonces podriamos obtener el potencial integrando ¿no?. Ahora las dudas que me surgen son, como calculo la velocidad v para poder formar el lagrangiano y ¿que pasaría si el campo no fuera conservativo?¿cómo se procedería?

[Alriga]

... entonces podríamos obtener el potencial integrando ¿no? ...

Sí, integrando sale:

$-\dfrac{\partial U}{\partial x}=3x^2 y+y^2 z \quad \Longrightarrow \quad -U=x^3 y+x y^2 z+f_1(y, \ z)$

$-\dfrac{\partial U}{\partial y}=x^3+2xyz \quad \Longrightarrow \quad -U=x^3 y+x y^2 z+f_2(x, \ z)$

$-\dfrac{\partial U}{\partial z}=x y^2 \quad \Longrightarrow \quad -U=x y^2 z+f_3(x, \ y)$

Por lo tanto:

$U=-x^3 y-x y^2 z+C$

La energía cinética:

$T=\dfrac 1 2 m v^2$

$v=\sqrt{\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2}$

$T=\dfrac 1 2 m (\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2)$

El Lagrangiano:

$\mathcal L=T-U$

$\mathcal L=\dfrac 1 2 m (\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2) + x^3 y+x y^2 z$

Supongo que ahora hay que aplicar las Ecuaciones de Euler-Lagrange para hallar las ecuaciones del movimiento, pero no veo claro como seguir, lo siento Supongo que será montar el sistema de ecuaciones:

$\dfrac d{dt}\dfrac{\partial \mathcal L}{\partial \dot x}-\dfrac{\partial \mathcal L}{\partial x}=0$

$\dfrac d{dt}\dfrac{\partial \mathcal L}{\partial \dot y}-\dfrac{\partial \mathcal L}{\partial y}=0$

$\dfrac d{dt}\dfrac{\partial \mathcal L}{\partial \dot z}-\dfrac{\partial \mathcal L}{\partial z}=0$

Como no estoy seguro, no hago las derivadas, ojalá esto te sea útil, saludos.

[Richard R Richard]

Yo tampoco lo tengo claro, por falta de practica, a ver si completo lo de Alriga

interpreto que es un campo de fuerzas central donde r es el modulo del vector distancia al origen de coordenadas que puedes calcular con coordenadas $(x,y,z)$

dado

$\displaystyle m\ddot{\mathbf{r}} + \boldsymbol\nabla U = 0$

entonces

$m\dfrac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = -\boldsymbol\nabla U = \mathbf{F}$

creería que tu lagrangiano es

$\mathcal L(x,y,z,\dot{x},\dot{y},\dot{z}) = \dfrac{m}{2}\dot{\mathbf{r}}^2-U(\mathbf{r})$

donde

$\dot{\mathbf{r}}=\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2}$

Edito

como tiene las fuerzas en cada eje, si integra respecto del tiempo, y pone condiciones de contorno adecuadas, puede tener las velocidades.

[Alriga]

Bueno, mientras yo ampliaba mi respuesta veo que Richard ha llegado a conclusiones similares, lo que me deja más tranquilo

[Phys]

Muchísimas gracias a los dos

[Alriga]

Un detalle tiquismiquis a la excelente aportación de Richard:

... interpreto que es un campo de fuerzas central [conservativo] donde r es el modulo del vector distancia al origen de coordenadas que puedes calcular con coordenadas $(x,y,z)$

Todos los campos centrales son conservativos, pero el recíproco no es cierto, hay campos conservativos que no son centrales, como el de este ejercicio concreto.

Las Ecuaciones de Euler-Lagrange:

$\dfrac d{dt}\dfrac{\partial \mathcal L}{\partial \dot x}-\dfrac{\partial \mathcal L}{\partial x}=0$

$\dfrac d{dt}\dfrac{\partial \mathcal L}{\partial \dot y}-\dfrac{\partial \mathcal L}{\partial y}=0$

$\dfrac d{dt}\dfrac{\partial \mathcal L}{\partial \dot z}-\dfrac{\partial \mathcal L}{\partial z}=0$

Haciendo las derivadas sale:

$$m\ddot x=3x^2y+y^2z$$

$$m\ddot y=x^3+2xyz$$

$$m\ddot z=xy^2$$

Que vemos que coincide con lo que nos dice la segunda ley de Newton:

$m \ \dfrac{d^2 \vec r}{dt^2}=\vec F$

Por lo que no hay duda de que el procedimiento seguido para hallar el Lagrangiano ha sido correcto.

Saludos.

[Phys]

Gracias por la aclaración