1r ciclo sistema de péndulo y resorte

[GonzC]

Hola me ayudan con este ejercicio que me está haciendo trasnochar. gracias

Encontrar la función de Lagrange y las ecuaciones de movimiento para el sistema descrito por la figura utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange. El $m$ de masas puede deslizarse sin fricción a lo largo de la varilla rígida sin masa del péndulo $M$. El resorte se envuelve alrededor de la varilla rígida y se conecta a la masa $m$. El péndulo $M$ no está conectado a la fuente. La constante del resorte es $k$.

creo que mi lagrangiano sería así, aunque no estoy seguro:

$T = \frac{1}{2}[M(r_1\dot\theta)^2 + m_2(\dot{r_2}^2 +(r_2\dot\theta)^2)]$

$V = -(Mr_1+mr_2)g\cos\theta + \frac{1}{2}k(r_2-l_0)^2$

$L = T - V = \frac{1}{2}[M(r_1\dot\theta)^2 + m_2(\dot{r_2}^2 +(r_2\dot\theta)^2)] + (Mr_1+mr_2)g\cos\theta - \frac{1}{2}k(r_2-l_0)^2$

pero como sería resolverlo por multiplicadores de Lagrange?

- - - Actualizado - - -

olvidé aclarar que $l_{0}$ es la longitud de inicial del resorte, $r_{1}$ la distancia hasta $M$, $r_{2}$ la distancia hasta $m$ que es variable y$\theta$ el ángulo con la vertical

[felmon38]

Re: sistema de péndulo y resorte

A mi me parece que lo más natural es aplicar las ecuaciones de Lagrange con las coordenadas generalizadas independientes que has elegido, y en este caso no necesitas utlizar los multiplcadores de Lagrange. Otra cosa sería si te hubiesen pedido, p.e., la fuerza que la barra ejerce sobre la masa m, o el valor de las reacciones en el pivote del péndulo.
Saludos

[GonzC]

Re: sistema de péndulo y resorte

según uno de mis compañeros que consultó con el profesor, primero hay que encontrar las ecuaciones de Lagrange, y luego calcular las reacciones para el pivote del péndulo

[felmon38]

Re: sistema de péndulo y resorte

Bueno, si no te exigen resolverlo únicamente mediante los multiplicadores de Lagrange, de acuerdo.
Saludos

[arivasm]

Re: sistema de péndulo y resorte

Pero el enunciado sí le exige ese procedimiento.

Aunque es un tema que tengo algo reseco, por aquello de echar una mano, si no recuerdo mal el método de los multiplicadores de Lagrange se usa cuando no se introduce un número de coordenadas igual al de grados de libertad del sistema. En este caso, tratando el problema como 2D, está claro que tenemos sólo dos grados de libertad (4 coordenadas - 2 ligaduras). Por tanto, bastará con dos coordenadas generalizadas, para las cuales parece la mejor elección el ángulo $\theta$ y la distancia $r_2$ (pues $r_1$ es una simple constante). La lagrangiana es entonces la que escribió GonzC.

Para tener que usar el método de los multiplicadores hay que plantear más coordenadas de las necesarias. Por ejemplo, aquí podríamos manejar las coordenadas cartesianas de las dos partículas, y añadir las condiciones de que $x_1^2+y_1^2=r_1^2$ (con $r_1$ la longitud de la cuerda, como dije antes) y que $y_1/x_1=y_2/x_2$, esto es, que $x_1y_2-x_2y_1=0$. Aclaro que estoy planteando que el origen de coordenadas esté en el punto de suspensión (lo que afectará, en particular, a la forma de la energía potencial gravitatoria), de manera que la última condición simplemente hacer referencia a la proporcionalidad entre los vectores $\vec r_1$ y $\vec r_2$.