1r ciclo Oscilacion colineal de dos masas iguales

[Enrique1990]

Buenos días me podrían ayudar a plantear este problema, la verdad no se como iniciarlo, se los agradecería si me dieran algunas ideas, de antemano gracias

Resolver el problema mecánico de oscilación colonial de dos masas iguales a ambos lados de una masa tres veces mayor, unidas a la masa triple por dos resortes iguales. Suponga que el centro de masa esta en reposo.

[Alriga]

Resolver el problema mecánico de oscilación colonial colineal de dos masas iguales a ambos lados de una masa tres veces mayor, unidas a la masa triple por dos resortes iguales. Suponga que el centro de masa esta en reposo.

La 2ª ley de Newton aplicada a cada una de las masas m, 3m y m de coordenadas respectivas $x_1, \ x_2, \ x_3$ (respecto de las posiciones de equilibrio) da estas 3 ecuaciones diferenciales:

$m\ddot x_1+k(x_1-x_2)=0$

$3m\ddot x_2+k(x_2-x_1)+k(x_2-x_3)=0$

$m\ddot x_3+k(x_3-x_2)=0$

Es un sistema de 3 ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden, homogéneas de coeficientes constantes, que se resuelve con el método matricial habitual.

Saludos.

[carroza]

Resolver el problema mecánico de oscilación colonial de dos masas iguales a ambos lados de una masa tres veces mayor, unidas a la masa triple por dos resortes iguales. Suponga que el centro de masa esta en reposo.

Sabes lagrangianos?

saludos

[Alriga]

¿Sabes lagrangianos? ...

No es algo que yo domine, (tal vez Enrique1990 sí), pero voy a intentarlo, ya que este caso parece muy sencillo:

$\mathcal L=T-U$

$T=\dfrac 12 m\dot x_1^2+ \dfrac 32 m\dot x_2^2+ \dfrac 12 m\dot x_3^2$

$U=\dfrac 12 k(x_1-x_2)^2 + \dfrac 12 k(x_2-x_3)^2$

$$\mathcal L=\dfrac 12 m\dot x_1^2+ \dfrac 32 m\dot x_2^2+ \dfrac 12 m\dot x_3^2-\dfrac 12 kx_1^2-kx_2^2+kx_1x_2-\dfrac 12 kx_3+kx_2x_3$$

La ecuación de Euler-Lagrange

$\dfrac d{dt}\dfrac{\partial \mathcal L}{\partial \dot x_i}-\dfrac{\partial \mathcal L}{\partial x_i}=0$

Para i=1

$\dfrac{\partial \mathcal L}{\partial \dot x_1}=m\dot x_1$

$\dfrac d{dt}\dfrac{\partial \mathcal L}{\partial \dot x_1}=m\ddot x_1$

$\dfrac{\partial \mathcal L}{\partial x_1}=-kx_1+kx_2$

$$m\ddot x_1+kx_1-kx_2=0$$

Para i=2

$\dfrac{\partial \mathcal L}{\partial \dot x_2}=3m\dot x_2$

$\dfrac d{dt}\dfrac{\partial \mathcal L}{\partial \dot x_2}=3m\ddot x_2$

$\dfrac{\partial \mathcal L}{\partial x_2}=-2kx_2+kx_1+kx_3$

$$3m\ddot x_2-kx_1+2kx_2-kx_3=0$$

Para i=3

$\dfrac{\partial \mathcal L}{\partial \dot x_3}=m\dot x_3$

$\dfrac d{dt}\dfrac{\partial \mathcal L}{\partial \dot x_3}=m\ddot x_3$

$\dfrac{\partial \mathcal L}{\partial x_3}=-kx_3+kx_2$

$$m\ddot x_3-kx_2+kx_3=0$$

Como es lógico, vemos que se obtiene lo mismo que aplicando directamente la 2ª ley de Newton, tal como se ha hecho en el post#2. Y como también se ve, en este caso unidimensional sencillo el camino del Lagrangiano para hallar las ecuaciones del movimiento resulta más largo que la utilización de las leyes de Newton.

Saludos.

[carroza]

Hola, Alriga.

La pregunta de los lagrangianos no iba para tí, que demasiado haces, sino para Enrique1990

Una vez tienes el lagrangiano, es más facil ver los modos normales, que entiendo que es el objetivo de la pregunta.

Un saludo