La ecuación Euler-Lagrange ¿resuelve realmente el problema de la braquistocrona?

[follonic]

No sé si la ecuación de Euler-Lagrange ($\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'}=0$) resuelve, al menos, dos de los problemas clásicos del cálculo de variaciones, el de la braquistocrona y el de la menor distancia entre dos puntos.

Así, p.ejem., TAYLOR, para el caso de la braquistrocrona, una vez evidenciado que $\displaystyle\frac{d}{x}\frac{\partial f}{\partial y'}$ es una constante, evalua esta derivada y la eleva al cuadrado "for convenience", tal y como él mismo afirma expresamente. De ahí llega a

$\displaystyle\frac{x'^2}{x(1+x'^2})= const= \frac{1}{2a}$,

añadiendo "where I have named the constant $\displaystyle\frac{1}{2a}$ for future convenience".

Resuelve para $\displaystyle x=\sqrt\frac{y}{2a-y}$ y se plantea la consiguiente integral:

$\displaystyle x=\int\sqrt{\frac{y}{2a-y}} dy$. E inmediatamente dice:

"This integral can be evaluated by the unlikely looking substitution

$\displaystyle y=a(1-cos\theta)$ (*)

which gives

$\displaystyle x=\int(1-cos\theta) d\theta=a(\theta-sin\theta) + const$ "

Dando un valor de a la constante, ya tiene las paramétricas del cicloide y da por resuelto el problema.

Otros autores(p.ejem, Marion/Thornton) operan igual y otros incluso dejan el problema a la mitad para el lector termine la solución, presuponiendo que va a llegar al cicloide(así, Goldstein).

Pues bien, en mi opinión, la ecuación Euler-Lagrange en cuestión es perfectamente inútil para resolver el problema; ello, por la sencilla razón de que los autores eligen el parámetro predeterminado ad hoc que es el que conduce a las paramétricas de la braquistocrona o cicloide. En el indicado caso de TAYLOR el mismo viene a recocerlo. Desde luego resolver una integral introduciendo un "unlikely" parámetro lo veo inaceptable.

En resumen, lo que, a mi juicio, hacen en realidad este y otros autores, es servirse de la ecuación Euler-Lagrange como puro artificio para resolver un problema cuya solución conocen de antemano.

Si alguien me despeja dudas, muy agradecido.


(*) Haciendo la sustitución propuesta por el autor y derivando respecto de $\theta$, en el ordenador a mi me da $\int{\frac{\sqrt{1-cos\theta}}{\sqrt cos\theta+1}}d\theta$

[Richard R Richard]

Como la braquistocrona, es la curva que minimiza el tiempo de llegada entre extremos, cumple con las ecuaciones de Euler Lagrange, y al saberse que las cumpole le otorga ciertas propiedades a la función, que permiten obtener la curva, esto esta bastante claro y desarrollado en la wikipedia https://es.wikipedia.org/wiki/Curva_...ostraci%C3%B3n

[follonic]

En la parte final del enlace que has puesto:

1) Se introduce una constante $\displaystyle C=\frac{1}{\sqrt{2gy}{\sqrt{1+y^2}}}$ e, inmediatamente a continuación, se dice:

"Esta ecuación se puede reescribir como:

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\sqrt{\frac{1}{2gC^2y}-1}$

No se explica de donde viene el primer miembro de la derecha; especialmente cuando se acaba de decir que la ecuación en cuestión es una constante, por lo que expresar la derivada de una constante(=0) no tiene sentido.

2) Seguidamente se introducen los parámetros ad hoc y, sin más cuestión, se insertan las paramétricas del cicloide(o braquistocrona). Antes de ver esas paramétricas de wikipedia, recordemos que, en general, tienen esta forma:

$x= a(\theta-sen \theta)$
$y= a(1-cos\theta)$

donde el parámetro es $\theta$ (v. p.ejem., Larson/Edwuards, capítulo 10)

Pues bien, las paramétricas de wikipedia son:

$\displaystyle x=\frac{1}{4gC^2} (\theta-sen\theta)$
$\displaystyle y= \frac{1}{4gC^2} (1-cos\theta)$

Es decir, $a$ es aquí $\displaystyle \frac{1}{4gC^2}$, una constante, como corresponde. Sin embargo, ¿qué explicación estrictamente matemática lleva a introducir, precisamente, los parámetros de la cicloide?. Hasta donde sé, una curva puede parametrizarse de muchas maneras, ‘según convenga’.Me reconozco incompetente para parametrizar de otra forma; pero algún lanzado seguro que parametriza de otra forma y obtiene, no sé, una lemniscata, un cardiode o algo…


3) Finalmente, el autor de wikipedia saca su solución haciendo el cociente de las respectivas derivadas de esas paramétricas:

$\displaystyle \frac{dy}{dx}= \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}}$

Obteniendo un resultado erróneo. Derivando las parámetricas de wikipedia y dividiendo como dice el autor a mí me sale:


$\displaystyle \frac{\frac{sen\theta}{4gC^2}}{\frac{-cos\theta}{4gC^2}} = -tan \theta$

Para acabar, en un viejo texto de Mecánica(McMillan, "Statics and dynamics of a particle", 1927, p.327; está en internet), tras resolver la braquistocrona con la ecuación Euler-Lagrange a base de introducir las paramétricas, como hace todo el mundo, afirma:

"Naturallly, the question arises, "does there exist a cycloid of the type described which the points A and B; an if so, is it unique?". Contesta afirmativamente, por supuesto; y para confirmarla, añade la supuesta demostración geométrica insertando un dibujo que, por las trazas de impresión, podría ser la solución que dió en su día uno de los Bernoulli, el propio Newton o a saber quien.



Saludos

[Al2000]

Tienes un error en la última ecuación, donde pones $-\cos \theta$ debería ser $1-\cos \theta$.

[follonic]

Cierto. Rectificando,

$\displaystyle \frac{dy}{dx}= \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}}=\displaystyle \frac{\frac{sen\theta}{4gC^2}}{\frac{-(cos\theta -1)}{4gC^2}} = \frac{1}{tan\frac{\theta}{2}}=\frac{cos\frac{\theta}{2}}{sen\frac{\theta}{2}}$

Tampoco sale la cicloide

[Richard R Richard]

Hola ando desorientado con el rumbo que quieres darle al hilo... Si lo que estás buscando es obtener $y=f(x)$ o $x=g(y)$ lo que tienes que hacer es obtener $\theta(y)$ despejando y remplazar en la ecuación diferencial que obtuviste hacer pasaje de términos e integrar para llegar a $x=g(y)$.Si me preguntas de buenas primera no sé si tiene solución analítica. .
Por otro lado valerse de teoremas demostrados para arribar a soluciones mas rápidamente no es ilegalni hay magia.
imagina si para cada problema de campos vectoriales en fisica puntualmente tendríamos que resolver integrales en ves de un sencillo calculo con el teorema de Stokes o el de Gauss.La idea es que sabiendo algo cierto y demostrado se pueda llegar a resultados fácilmente contrastables experimentalmente, en problemas complejos, que fácilmente se consiguen resolver aplicando conocimientos previos.

[Al2000]

Te hago un par de comentarios esperando te sean útiles, aunque no estoy muy seguro de donde está tu duda.

Hay un pequeño gran error en lo que pones en el primer punto. Escribiste

...
1) Se introduce una constante $\displaystyle C=\frac{1}{\sqrt{2gy}{\sqrt{1+y^2}}}$ e, inmediatamente a continuación, se dice:

"Esta ecuación se puede reescribir como:

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\sqrt{\frac{1}{2gC^2y}-1}$

No se explica de donde viene el primer miembro de la derecha; especialmente cuando se acaba de decir que la ecuación en cuestión es una constante, por lo que expresar la derivada de una constante(=0) no tiene sentido.
...

pero la primera expresión debe ser

$$C = \frac 1 {\sqrt{2gy}{\sqrt{1+y'^2}}}$$

(nota que te falto "la prima") y la segunda expresión es simplemente el despeje de $\dst y' = \frac {dy}{dx}$.

En el punto 3) y luego de que el autor ha introducido la idea de que la ecuación paramétrica de la cicloide satisface la ecuación diferencial anterior, lo que se está haciendo es verificar la afirmación:

3) Finalmente, el autor de wikipedia saca su solución haciendo el cociente de las respectivas derivadas de esas paramétricas:

$\displaystyle \frac{dy}{dx}= \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}}$

Obteniendo un resultado erróneo. Derivando las parámetricas de wikipedia y dividiendo como dice el autor a mí me sale:
...

$$\frac {dy}{dx} = \frac {\mathrm {sen} \, \theta}{1 - \cos \theta } = \frac {\sqrt {1-\cos ^2 \theta }}{1 - \cos \theta } = \frac {\sqrt {(1+\cos \theta )(1-\cos \theta) }}{1 - \cos \theta } = \sqrt {\frac {1 + \cos \theta }{1 - \cos \theta }} = \sqrt {\frac 1 {2 g C^2 y} - 1}$$

La última igualdad se obtiene cuando despejas las cantidades $1 - \cos \theta$ y $1 + \cos \theta$ de la ecuación paramétrica de $y$, sustituyes y simplificas.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[follonic]

A AI2000. Respecto del punto 1), es verdad que he equivocado al transcribir wikipedia y he puesto $y$ donde debe poner $y'$. Pero, aunque no sea ya una constante, en realidad no influye en la solución el problema. El nudo gordiano está aquí:

En el punto 3) y luego de que el autor ha introducido la idea de que la ecuación paramétrica de la cicloide satisface la ecuación diferencial anterior, lo que se está haciendo es verificar la afirmación:

$$\frac {dy}{dx} = \frac {\mathrm {sen} \, \theta}{1 - \cos \theta } = \frac {\sqrt {1-\cos ^2 \theta }}{1 - \cos \theta } = \frac {\sqrt {(1+\cos \theta )(1-\cos \theta) }}{1 - \cos \theta } = \sqrt {\frac {1 + \cos \theta }{1 - \cos \theta }} = \sqrt {\frac 1 {2 g C^2 y} - 1}$$

La última igualdad se obtiene cuando despejas las cantidades $1 - \cos \theta$ y $1 + \cos \theta$ de la ecuación paramétrica de $y$, sustituyes y simplificas.

$\mathcal A \ell$

Explícame por qué aceptas sin más las parámetricas con funciones trigonométricas; ¿porque así lo hace la comunidad de físicosy matemáticos?. Si lo aceptan, es por convención; una 'excusa', digamos, para afirmar que el cálculo de variaciones resuelve la braquistocrona. Pero a mí no me vale.

Por otra parte,y aunque, dicho lo anterior, ya no es relevante, a mi el cociente de derivadas me sigue dando lo que puse arriba, por más vueltas que le doy a la TI Inspire.

Para terminar, acabo de encontrar otro autor aún más antiguo que el que cité antes que resuelve el problema del 'brachystonism'('Curve of quickest descent') por Jakob Bernoulli y no por cálculo variacional. Aún lo estoy estudiando, pero parece que por ahí sí al final salen senos y cosenos por geometría, no por convención(Weisbach, Theoretical Mechanics, trad. inglesa, 1882, p.659; en archive.org; cuidado que hay ediciones anteriores y ulteriores). Lo recomiendo enfáticamente.

Saludos