Como calcular la geodésica de un cilindro? (Es una hélice?)

[Inukami]

Buenas,

estoy intentando calcular la geodésica de un cilindro usando coordenada cilindricas. La verdad es que no se por donde empezar, en clases solo hemos aprendido usar la ecuacion Euler-Lagrange para funcionales dadas.

Y solo hemos aprendido usar Euler Lagrange para coordenadas cartesianas.

Alguien tiene un consejo de como empezar esto?

[Richard R Richard]

Un cilindro se puede desarrollar como un plano cartesiano, ya que su curvatura es nula, la distancia entre dos puntos sobre un cilindro en coordenadas cilindricas será

$D=\sqrt{R^2(\theta_2-\theta_1)^2+(z_2-z_1)^2}$

con $0\leq|\theta_2-\theta_1|<\pi$ ya que no se puede estar mas lejos que la longitud de media circunferencia.

En la curva geodésica del cilindro la distancia de dos puntos (que no tienen porque estar sobre la misma coordenada angular ni la misma altura zeta), tienen distancia mínima sobre una trayectoria helicoidal.




esto esta en polares pero es perfectamente deducible de un planteo en cilíndricas parametrizada en t

$x=R\cos(2\pi t)$

$y=R\sin(2\pi t)$

$z=k t$


mirate el final de esta entrada de blog

http://teoria-de-la-relatividad.blog...geodesica.html


$L=\dst\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{\left(\dfrac{\partial x}{\partial t}\right)^2+\left(\dfrac{\partial y}{\partial t}\right)^2+\left(\dfrac{\partial y}{\partial t}\right)^2} dt$


puedes verificar con la ecuación de Euler Lagrange

$\dfrac{\partial L}{\partial x}-\dfrac{\partial }{\partial t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial x'}\right)=0$

$\dfrac{\partial L}{\partial y}-\dfrac{\partial }{\partial t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial y'}\right)=0$

$\dfrac{\partial L}{\partial z}-\dfrac{\partial}{\partial t} \left(\dfrac{\partial L}{\partial z'}\right)=0$

[Inukami]

Gracias