1r ciclo Gradiente en esféricas

[jssln]

Buenas tardes, me he encontrado con el siguiente problema.

Sea el punto P de coordenadas esféricas $r= 2, \theta= \phi = \frac{\pi}{ 4}$ y la función potencial $\Phi(r,\theta,\phi) = {r}^{2 }\sin\theta$. Obtener el gradiente ene le punto P.

Entonces yo calculo el gradiente con la formula.
$\vec{grad}\Phi=\frac{\partial\Phi}{ \partial r}\vec{{u}_{r }}+\frac{1}{r}\frac{\partial\Phi}{\partial\theta }\vec{{u}_{ \theta}}+\frac{1}{r\sin\theta }\frac{\partial \Phi}{\partial \phi}{ }\vec{{u}_{\phi }}$

y obtengo $\vec{grad}\Phi = ( 2r\sin\theta, r\cos\theta, 0)$ y al sustituir los valores del punto, mi resultado es $(2\sqrt{2}, \sqrt{2}, 0 )$ y las soluciones del ejercicio son $(\frac{3}{\sqrt{2} }, \frac{3}{\sqrt{2} }, 1)$
¿podríais ayudarme?

[arivasm]

Re: gradiente en polares

¿No será que tienes que expresar el resultado en coordenadas cartesianas?

[jssln]

Re: gradiente en polares

¿Y como lo hago?

[Alriga]

Re: Gradiente en coordenadas esférica

Las ecuaciones que relacionan coordenadas esféricas con cartesianas son:

$x=r\cos \theta \sin \phi$

$y=r \sin \theta \sin \phi$

$z=r \cos \phi$

Saludos.

[alexpglez]

Re: gradiente en polares

¿No será que tienes que expresar el resultado en coordenadas cartesianas?

Así es!

[jssln]

Re: gradiente en polares

Muchas gracias, el cambio lo conozco, pero lo que no se es aplicarlo a mi ejercicio.

[alexpglez]

Re: Gradiente en esféricas

El vector que tienes en polares $\vec v=(2\sqrt{2},2\sqrt{2},0)$ se expresa expandidamente como:

$$\vec v=2 \sqrt{2} \vec u_r + 2 \sqrt{2} \vec u_{\theta}$$

PD: no escribo el $\vec u_{\phi}$ puesto que la contribución en esta dirección es 0.

Sólo tienes que considerar las relaciones que se derivan de las definiciones escritas por Alriga junto con la definición de vector unitario en la dirección X:

$$\vec u_X=\frac{\frac{\partial \vec r}{\partial X}}{\vert\frac{\partial \vec r}{\partial X}\vert}$$

Por ejemplo calculemos $\vec u_r$.

$$\vec r=(x,y,z)=(r\sin \theta \cos \phi, r \sin \theta \sin \phi, r \cos \theta)$$

Derivando:

$$\frac{\partial \vec r}{\partial r}=(\sin \theta \cos \phi, \sin \theta \sin \phi, \cos \theta) \;\;\; \vert\frac{\partial \vec r}{\partial r}\vert=1$$

$$\vec u_r=\frac{\frac{\partial \vec r}{\partial r}}{\vert\frac{\partial \vec r}{\partial r}\vert}=(\sin \theta \cos \phi, \sin \theta \sin \phi, \cos \theta)$$

Así con todos los vectores unitarios, y después simplemente los evalúas dados los datos del ejercicio y realizas la combinación lineal $\vec v=2 \sqrt{2} \vec u_r + 2 \sqrt{2} \vec u_{\theta}$

Aunque quizá te hayan hecho ya interiorizar los vectores unitarios en coordenadas esféricas, si es así verás que te sale el mismo resultado que aparece en cualquier manual sencillo de física: https://es.wikipedia.org/wiki/Coorde...ase_coordenada

[jssln]

Re: Gradiente en esféricas

muchas gracias, al hacerlo asi me sale $(\frac{3\sqrt{2}}{ 2}, \frac{3\sqrt{2}}{ 2}, 1)$ que es el resultado que debía darme.

[arivasm]

Re: Gradiente en esféricas

No entiendo el "pero": $\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

[jssln]

Re: Gradiente en esféricas

El pero se me coló, porque al principio lo hice con la relación que habias escrito $2\sqrt{2}\vec{{u}_{ r}}+2\sqrt{2}\vec{{u}_{ \theta}}$ y e salía otro resultado, pero me di cuenta que era $2\sqrt{2}\vec{{u}_{ r}}+\sqrt{2}\vec{{u}_{\theta }}$ y entonces ya me salía el resultado correcto y al correguir la entrada olvide quitar el pero.