Partícula dentro de un cono

[follonic]

El problema es dar las ecuaciones de movimiento de una particula dentro de un cono. Empleando coordenadas cilíndricas y el lagrangiano, MARION da:

$\ddot r - r\dot\theta^2 sen^2 \alpha + g sen \alpha cos \alpha=0$

En la web de la de Facultad de Física de de la Universidad del país vasco, usando igualmente el langrangiano pero en coordenadas esféricas se dan dos ecuaciones:

$\frac{d^2 r}{d^2t} - r sin^2 \theta(\frac{d\phi}{dt})^2 +g cos\theta = 0$
$r^2 sin^2 \theta \frac{d^2\phi}{dt^2}=0$


http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica3/d...cono/cono.html



En un video de youtube usando la 2ª Ley de Newton y en coordenadas esféricas se dan tres, una para cada versor y también en esféricas

$\hat e_r= -mg cos \theta= m(\ddot r - r(\dot\phi^2) sen^2 \theta$
$\hat e_\theta= mg sen\theta -N = m(-r(\dot\phi^2) sen\theta cos\theta )$ (N: la normal ejercida por el cono)
$e_\phi= m(r\ddot\phi sen \theta + 2 \dot r \dot\phi sen \theta ) = 0$

https://www.youtube.com/watch?v=fkRMgaPL3D8


Aparte de la diversidad de soluciones, tampoco entiendo por qué no se tiene en cuenta la $v_0$ que ha de tener la partícula para moverse en círculos dentro del cono

Gracias