2o ciclo Principio de Mapertuis

[sater]

Buenas, en este hilo juntare dos ejercicios de un examen de mecánica teórica respecto al mismo lagrangiano para preguntar las dudas sobre éstos.
Me dan el Lagrangiano $L=\frac{m}{2} (\dot{x}^2+\dot{y}^2)-k(x-y)^2/2$.

Respecto al primer ejercicio tengo estas dudas:

a)- Para las traslaciones en el plano xy que sean simetrías, encontrar la corriente de noether asociada.

b)- Encontrar la ecuación diferencial de segundo orden que satisface y=y(x) aplicando el principio de Mapertuis o Jacobi


a) Si a partir del lagrangiano, como este es L=T-U, se dibujan las equipotenciales de U, se ve que son rectas en la forma y=x+C, por lo que es de lógica pensar que las simetrías serán traslaciones de la forma $\bold q'=\bold q + \bold r$ con $\bold r=(a,a)$ (se puede demostrar rigurosamente pero es por no explayarme pues esa no es mi duda). Por tanto las coordenadas se relacionan como $x'=x+a=f_1(x_i,a)$ e $y'=y+a=f_2(x_i,a)$ tal que $f(x_i,a=0)=x_i$

Para encontrar ahora la corriente de noether asociada, debo hacer (puesto que estoy en el caso $\delta L=0$)

$$\dst A=\sum_i \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \left[\dfrac{\partial f_i}{\partial a}\right]_{a=0}=x p_x + y p_y$$

¿es esto correcto? es que no veo qué cantidad podría representar eso en mi sistema (aunque tampoco se me pide argumentación).

b) para este caso la verdad es que ni idea. Sé que el principio de Mapertuis consiste en extremar la acción

$$S=\int_{\tau_1}^{\tau_2} \sqrt{2(E-U)} \mathrm{d} l$$

pero no veo cómo hacerlo de forma práctica. He encontrado una mini derivación en el de mecánica de Landau pero tampoco sé meterle mano así, y no hay ejemplos por ningún lado usando este principio.

Respecto al segundo ejercicio: para este mismo lagrangiano

a) complete la transformación canónica $r=x-y$ tal que en las nuevas variables canónicas $(r,p_r,Q,P)$ el hamiltoniano sea:

$$H=p_r^2/m+k r^2/m+P^2/(4m)$$

con $p_r,P$ los nuevos momentos.

a) respecto a éste no sé como proceder, solo me dan una de las ecuaciones de transformación lo cual veo que deja muchos caminos posibles abiertos y por ninguno lo he conseguido.

Al principio pensé directamente $p_r$ con $p_x, p_y$ como si fuera un cambio a coordenadas polares, pero ¿qué angulo uso? Pensé en poner Q como el ángulo pero entonces la transformación ya no satisface los corchetes de Poisson fundamentales luego no lo es. También podría poner directo $p_r^2=p_x^2+p_y^2$ pero no veo entonces como tirar con P.

Por otro lado el hamiltoniano nuevo es ciclico en Q que es la coordenada generalizada conjugada de P luego P es constante. Pense en usar que P fuera la corriente asociada de noether del primer ejercicio pero [P,r] no es nulo luego tampoco satisface los susodichos corchetes.

Tampoco se me ocurre que función generatriz podría intentar usar, en general tengo poca visión para eso.


Bueno, siento el tostón pero espero que el ejercicio sea instructivo para el foro pues no he encontrado muchos relacionados en esta área.

Gracias de antemano, un saludo.

PD: al inicio solo pensaba proponer el ejercicio de Maupertuis y por eso en el titulo solo aparece eso. Si alguien puede corregirlo y añadir Noether y transformaciones canónicas mucho mejor. Y de paso corregirlo pues lo he escrito mal.

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Finalmente he conseguido el segundo ejercicio, pues he encontrado un libro que propone directamente las transformaciones canónicas a utilizar y te pide que compruebes que lo son. Una vez vistas con un poco de idea se podían conseguir, pero claro, eso se dice siempre tras ver un ejercicio resuelto Se trata de que $(p_x^2+p_y^2)/2m$ pase a $p_r^2/m+P^2/4m$. Con un poco de vista se puede proponer $p_r=(p_x-p_y)/2$ y $P=p_x+p_y$.

Con estas transformaciones se comprueba que todos los corchetes de Poisson dan lo que deben dar, por lo que son canónicas. Falta encontrar $Q(x,y,p_x,p_y)$ pero haciendo que sus corchetes de Poisson con las otras valgan lo que deben valer sale rápido que $Q=(x+y)/2$.

Por si sirve de ayuda para un futuro visitante del hilo, con lo de que "los corchetes de Poisson valgan lo que deben valer" me refiero a que una transformación es canónica si verifica:

$$[Q_i,Q_j]=[P_i,P_j]=0,\quad [Q_i,P_j]=\lambda \delta _{ij}$$

con $\lambda$ la valencia de la transformación (que suele tomarse como 1, pues si es distinto a uno las dos transformaciones están relacionadas por una intermedia de escala)


Bueno, quedo ya a la espera de si alguien se anima con el primer ejercicio. Un saludo

[sater]

Re: Principio de Mapertuis

Como siempre, me he equivocado de la forma más tonta. Si se deriva bien en el teorema de Noether sale que la cantidad conservada es $p_x+p_y$, justo la que en las transformaciones canonicas del siguiente ejercicio se usa para P (ya que Q es cíclica luego P es constante), con razón no me salía.

Respecto al principio de Maupertuis, tras comentarlo con un compañero lo más que se nos ocurre es hacer lo siguiente:

Suponemos y=y(x), y como la longitud de la curva descrita por dicha función es la integral de $\sqrt{1+\dot{y}^2}$, ponemos entonces:

$$S=\int_{\tau_1}^{\tau_2} \sqrt{E-U(x,y(x))}\sqrt{1+\dot{y}^2(x)}dx$$

y tomamos entonces que $L=L(y,\dot{y},x)=\sqrt{E-U(x,y(x))}\sqrt{1+\dot{y}^2(x)}$ y aplicamos las ecuaciones de Euler Lagrange como si x fuera el tiempo.

Bueno, gracias igualmente y espero que a alguien le sea útil. Un saludo