2o ciclo Ecuación de Hamilton Jacobi y evolución canónica

[sater]

Buenas, estoy intentando entender una demostración referente a que, dada una solución cualquiera S(q,Q,t) de la ecuación de Hamilton Jacobi, la evolución de las variables originales $q_i, p_i$ es canónica (la típica con el Hamiltoniano).

Entiendo la primera parte pero no la segunda, así que pondré la primera parte y a ver si entre todos se nos ocurre la segunda porque en estos apuntes se hace un lío con las variables que no termino de ver.

Dado que los $P_i$ son constantes (pues la ecuación de Hamilton Jacobi se deriva suponiendo que la evolución temporal te lleva al valor de las variables en $t_o$ luego un valor constante, y por ello se fija el nuevo Hamiltoniano a cero para asegurar esa constancia), y que como la función principal de Hamilton es de tipo $F_1$ (es decir, se verifica que $p_i=\frac{\partial S}{\partial q_i}, \quad\quad P_i=-\frac{\partial S}{\partial Q_i}$):

$$\dot{P}_i=0=-\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial S}{\partial Q_i}=-\sum_j \dfrac{\partial^2 S}{\partial q_j \partial Q_i}\dot{q}_j - \dfrac{\partial^2 S}{\partial t \partial Q_i}$$

Pero S satisface la ecuación de Hamilton Jacobi: $H(q,p(q,Q,t),t)+\partial S/\partial t=0$
luego

$$\dfrac{\partial^2 S}{\partial Q_i \partial t}=-\dfrac{\partial H(q,p(q,Q,t),t)}{\partial Q_i}=-\sum_j \dfrac{\partial H(q,p,t)}{\partial p_j} \dfrac{\partial ^2 S}{\partial Q_i \partial q_j}$$

y sustituyendo (2) en (1):

$$0=\sum_j \dfrac{\partial^2 S}{\partial q_j \partial Q_i}\left(-\dot{q}_j +\dfrac{\partial H(q,p,t)}{\partial p_j}\right)$$

luego, como por ser función generatriz de la transformación $\partial^2 S/\partial q \partial Q\neq 0$ ya tenemos que se satisface una de las ecuaciones de evolución canónica.

Para encontrar la segunda la demostración parte ahora de:

$$\dot{p}_i=\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial S}{\partial q_i}=\sum_j \dfrac{\partial^2 S}{\partial q_i \partial q_j}\dot{q}_j+\dfrac{\partial^2 S}{\partial t \partial q_i}$$

Entonces como antes trata de meter el Hamiltoniano por la ecuación de Hamilton Jacobi pero hace lo siguiente:
$\dfrac{\partial ^2 S}{\partial t \partial q_i}=-\dfrac{\partial H(q,Q,t)}{\partial q_i}$

Supongo que lo escribe así porque la dependencia real del Hamiltoniano debido a la transformación canónica es respecto a esas variables por ser p=p(q,Q,t). Ahora lo que hace es que:

$$\dfrac{\partial H(q,Q,t)}{\partial q_i}=\dfrac{\partial H(q,p,t)}{\partial q_i}+\sum_j \dfrac{\partial H(q,p,t)}{\partial q_j}\dfrac{\partial p_j (q,Q,t)}{\partial q_i}$$

no entiendo este último paso.

¿Alguien que pueda echar una mano? Un saludo