Avanzado ayuda con un Hamiltoniano, por favor

[alejandrito29]

Considerar la rotacion de una molecula diatomica con una separacion internuclear l y masas m1 y m2. Empleando centro de masas y coordenadas relativas, mostrar que la energia cinetica rotacional puede ser escrita en coordenadas esfericas como:

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o": derivada de o respecto al tiempo
y, a partir de esto, deriva el Hamiltoneano rotacional

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donde I = u*l2, u es la masa reducida.

Agradezco de antemano por la ayuda

post data. En el problema no que es f.

[Jose D. Escobedo]

Re: ayuda con un Hamiltoneano, por favor

Voy a tratar de resolver la primera parte.

$m_1 \vec r_1 + m_2 \vec r_2 =0$ porque se esta tomando el centro de masa como referencia. $\Rightarrow$

$\displaystyle \left[ \vec \dot r_1 = - (\frac{m_2}{m_1}) \vec \dot r_2 \right ]$...(1)

Tambien se tiene la relacion entre los vectores $\vec r_1 + \vec a = \vec r_2 \Rightarrow \left[ \vec \dot a = \vec \dot r_2 - \vec \dot r_1\right]$...(2)

de (1) y (2)

$\displaystyle \vec \dot a = \vec \dot r_2 (1 + \frac{m_2}{m_1}) \Rightarrow \vec \dot r_2 = \vec \dot a \frac{m_1}{m_1+m_2} = \frac{m_1}{m_1 + m_2} a \frac{d \hat e_r}{dt}$...(3)

En (3) a es constante porque es la distancia fija interatomica de la molecula y entonces lo unico que varia es el vector unitario $\hat e_r$

Por otro lado, la energia de esta molecula esta dada por la siguiente expresion:

$\displaystyle E = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2$...(4)

De (1) se tiene que: $\displaystyle v_1^2 = \vec \dot r_1 \cdot \vec \dot r_1 = (-\frac{m_2}{m_1} ) (-\frac{m_2}{m_1}) \vec \dot r_2 \cdot \vec \dot r_2 = \frac{m_2^2}{m_1^2} v_2^2$...(5)

Ahora substituyendo (5) en (4) $\Rightarrow$

$\displaystyle E=\frac{1}{2} m_2 v_2^2 ( \frac{m_2}{m_1} + 1)= \frac{1}{2} m_2 ( \frac{m_2 + m_1}{m_1} ) v_2^2$...(6)

En la ecuacion (3) se efectua el mismo procedimiento que se hizo en (5)
$\Rightarrow$

$\displaystyle v_2^2 = \frac{m_1^2}{(m_1+m_2)^2} a^2 \frac{d \hat e_r}{dt} \cdot \frac{d \hat e_r}{dt}$...(7)

Si se substituye (7) en (6)

$\displaystyle E= \frac{1}{2} \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} a^2 \frac{d \hat e_r}{dt} \cdot \frac{d \hat e_r}{dt}$...(8)

En coordenadas esfericas se tiene que los vectores unitarios se expresan de la sigiente forma:

$\hat e_r = \hat i \sin \theta \cos \phi + \hat j \sin \theta \sin \phi + \hat k \cos \theta$
$\hat e_{\theta} = \hat i \cos \theta \cos \phi + \hat j \cos \theta \sin \phi - \hat k \sin \theta$
$\hat e_{\phi} = -\hat i \sin \phi + \hat j \cos \phi$

Si se deriva el primero respecto al tiempo $\Rightarrow$

$\displaystyle \frac{d \hat e_r}{dt}= \hat i \cos \theta \cos \phi \dot \theta - \hat i \sin \theta \sin \phi \dot \phi + \hat j \cos \theta \sin \phi \dot \theta +\hat j \sin \theta \cos \phi \dot \phi - \hat k \sin \theta \dot \theta$

de esta ultima expresion se tiene que:

$\displaystyle \frac{d \hat e_r}{dt} = \hat e_{\phi} \dot \phi \sin \theta + \hat e_{\theta} \dot \theta$...(9)

Finalmente substituyendo (9) en (8) y efectuando el producto escalar se tiene que:

$\displaystyle E= \frac{1}{2} \mu a^2 ( \dot \phi^2 \sin^2 \theta + \dot \theta^2)$

Despues de esta ayuda y como se encuentran frases en los libros de texto, lo que sigue se le deja al lector.

see yah