2o ciclo Operadores intercambiables

[jugarmen]

En un problema se exige la variación nula de la acción a la densidad lagrangiana $\mathfrak{L}(y,y_{x},y_{xx},y_{t},t)$. Considerando que la variación de la densidad de la lagrangiana es:

$\delta \mathfrak{L}=\frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial y}\delta y+\frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial y_{x}}\delta y_{x}+\frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial y_{xx}}\delta y_{xx}+\frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial y_{t}}\delta y_{t}$.

En la solución se reescribe esta variación de $\mathfrak{L}$ teniendo en cuenta que la derivada temporal y espacial son operadores intercambiables al no actuar $x$ y $t$ como variables independientes:

$\delta y_{x}=\delta\frac{\partial y}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\delta y$

$\delta y_{xx}=\delta\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 }{\partial x^2}\delta y$

$\delta y_{t}=\delta \frac{\partial y}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial t}\delta y$

¿Cómo se llega a esta conclusión respecto de $x$ y $t$ y posterior consecuencia en los operadores?

[alexpglez]

Re: Operadores intercambiables

Hola, definimos la variación como la diferencia respecto de la función buscada. Es decir que:
$q'=q+\delta q$
Puedes usar la misma expresión para hallar la variación de las derivadas, a su vez deriva esta primera expresión.
El resultado al que se llega es que la variación de la derivada coincide con la derivada de la variación.