Momento canónico en sistemas con aceleración

[bert22]

Hola, para un lagrangiano de la forma $L(q,\dot{q},\ddot{q})$ las ecuaciones de Euler-Lagrange son de la forma siguiente:

$\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}+\frac{d^{2}}{dt^{2}}\frac{\partial L}{\partial \ddot{q}}= 0\,,$

es decir, la dependencia de $\ddot{q}$ en el lagrangiano da lugar al término $\frac{d^{2}}{dt^{2}}\frac{\partial L}{\partial \ddot{q}}$ en las ecuaciones, en comparación al caso habitual en el que no hay aceleración.

Lo que no entiendo es por qué los momento canónicos se definen de la siguiente forma:

$p_{1}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \ddot{q}} \,, \quad p_{2}=\frac{\partial L}{\partial \ddot{q}}\,.$

¿Por qué se define de esa manera el momento $p_{1}$? ¿Alguien sabe la respuesta (sin hacer uso de ningún tipo de multiplicador de Lagrange)?

[bert22]

Pensando más en el tema, creo que la razón por la que se definen así los momentos es que de esa manera las ecuaciones de Hamilton quedan de la forma habitual $\dot{q}_{i} = \frac{\partial H}{\partial p_{i}}$ y $\dot{p}_{i} = - \frac{\partial H}{\partial q_{i}}$, siendo $q_{1} = q$ y $q_{2} = \dot{q}$.