¿Es el principio del trabajo virtual una aproximación?

[Masacroso]

Buenas. He leído varias veces sobre el principio de trabajo virtual, esto es, que $\sum_k F_k^r\cdot \delta x_k=0$ siendo $F_k^r$ las fuerzas de restricción sobre la partícula $k$. Esto (si lo he entendido bien) viene a decir que si supones que el sistema es estático entonces cualquier vector tangente a la superficie de restricción es ortogonal a las fuerzas de restricción. En un libro he leído que la utilidad de tal principio reside en que las fuerzas de restricción reales son aproximadamente ortogonales a la superficie de restricción. También he leído que el principio de trabajo virtual no es derivable de las leyes de Newton y además es el fundamento del principio de mínima acción de Hamilton.

Pero entonces, si es sólo una aproximación, ¿podemos decir que estos métodos analíticos, y los que se deriven de él, son sólo aproximaciones a un tratamiento mucho más riguroso utilizando las leyes de Newton? Si es así, ¿cuáles son sus limitaciones?

[Masacroso]

¿Alguien conoce al menos alguna referencia a texto o artículo donde se estudie en más profundidad las limitaciones del principio del trabajo virtual?

[javisot20]

Saludos Masacroso, ya que:
a-no estoy familiarizado
b-a la espera de una respuesta competente
c-chat gpt cada vez ofrece respuestas mejores

,he preguntando a la máquina, como digo, a la espera de una respuesta competente.

"Tu pregunta toca una serie de puntos fundamentales sobre la mecánica clásica, el principio de trabajo virtual y los métodos analíticos en general. Vamos a desglosar y analizar los aspectos relevantes.

1. ¿Qué es el principio de trabajo virtual?

El principio de trabajo virtual establece que, para un sistema en equilibrio, el trabajo virtual realizado por todas las fuerzas (incluidas las de restricción) sobre un desplazamiento virtual compatible con las restricciones es cero:

δW=∑iFi⋅δri=0.\delta W = \sum_i \mathbf{F}_i \cdot \delta \mathbf{r}_i = 0.δW=i∑Fi⋅δri=0.

Aquí, los desplazamientos virtuales δri\delta \mathbf{r}_iδri son pequeños desplazamientos imaginarios compatibles con las restricciones del sistema.

Un punto clave es que las fuerzas de restricción no realizan trabajo virtual porque son ortogonales a los desplazamientos virtuales tangentes a las superficies de restricción. Esto permite eliminar estas fuerzas del análisis, simplificando enormemente los problemas.

2. ¿Es el principio de trabajo virtual una aproximación?

No, estrictamente hablando, el principio de trabajo virtual no es una "aproximación". Es una consecuencia directa y exacta de las leyes de Newton para sistemas en equilibrio (si el sistema es estático o está en equilibrio dinámico). Las restricciones ideales (como superficies lisas o hilos inextensibles) aseguran que las fuerzas de restricción no contribuyan al trabajo virtual, lo que fundamenta la validez del principio.

Lo que sí puede introducirse como una aproximación en algunos casos es el concepto de restricciones ideales, ya que en sistemas reales siempre hay fricción, rugosidad, elasticidad, etc. Pero en el marco de un análisis idealizado, las restricciones y el principio de trabajo virtual son exactos.

3. Relación con las leyes de Newton

El principio de trabajo virtual no es derivable exclusivamente de las leyes de Newton. Más bien, es una formulación alternativa que descansa en los mismos principios fundamentales. De hecho, este principio puede considerarse un paso intermedio hacia métodos más generales como el principio de Hamilton y la mecánica lagrangiana.

El vínculo fundamental es que las leyes de Newton, aplicadas a un sistema con restricciones ideales, implican que las fuerzas de restricción son ortogonales a los desplazamientos tangentes, lo cual es la esencia del principio de trabajo virtual.

4. Relación con el principio de mínima acción

El principio de mínima acción de Hamilton es más general y abarca tanto sistemas en equilibrio como sistemas dinámicos. Aunque no se deduce directamente del principio de trabajo virtual, ambos están relacionados conceptualmente. El principio de mínima acción describe la evolución del sistema como la trayectoria que minimiza (o estacionariza) la acción, que es una integral en el tiempo del lagrangiano.

En resumen, el principio de trabajo virtual y el principio de mínima acción son herramientas complementarias: el primero se aplica directamente al equilibrio estático, mientras que el segundo abarca el comportamiento dinámico.

5. ¿Son los métodos analíticos sólo aproximaciones a las leyes de Newton?

No necesariamente. Los métodos analíticos (como la mecánica lagrangiana y hamiltoniana) no son aproximaciones, sino reformulaciones más generales de la mecánica clásica. De hecho:

• La mecánica lagrangiana y hamiltoniana abarcan la mecánica newtoniana y ofrecen herramientas para tratar sistemas más complejos, como sistemas con muchas restricciones o grados de libertad.

• En ciertos casos (como los sistemas con fuerzas no conservativas complejas), puede ser necesario introducir aproximaciones, pero eso no es una limitación inherente a los métodos analíticos, sino a la representación idealizada del sistema físico.

6. Limitaciones de los métodos analíticos basados en el principio de trabajo virtual

Las principales limitaciones provienen de las suposiciones idealizadas del modelo físico:

• Restricciones ideales: Suponer que las fuerzas de restricción son perfectamente ortogonales a las superficies de restricción puede no ser realista en sistemas con fricción, elasticidad, o comportamiento no ideal.

• Linealidad de los desplazamientos virtuales: El principio se aplica a desplazamientos infinitesimales y no a movimientos finitos.

• Restricciones holónomas: El principio se aplica de manera más directa a restricciones holónomas (que pueden expresarse como ecuaciones algebraicas entre coordenadas). Para restricciones no holónomas (como fricción o ruedas que ruedan sin deslizar), el análisis puede complicarse.

• Naturaleza estática: En sistemas dinámicos, el principio de trabajo virtual se generaliza al principio de D'Alembert, pero la simplicidad del análisis del equilibrio puede perderse.

Conclusión

El principio de trabajo virtual y los métodos analíticos que derivan de él (como la mecánica lagrangiana) no son aproximaciones a las leyes de Newton, sino reformulaciones equivalentes que a menudo son más útiles para sistemas complejos. Sus limitaciones no radican en los métodos en sí, sino en las idealizaciones necesarias para modelar un sistema físico real.

Si el sistema físico no encaja en estas idealizaciones (por ejemplo, incluye fricción compleja o restricciones no ideales), entonces los resultados obtenidos pueden ser aproximaciones. Sin embargo, cuando se aplican correctamente, los métodos analíticos son tan rigurosos como las leyes de Newton."

(He revisado la respuesta y no parece incorrecta)

[Masacroso]

Muchísimas gracias javisot20, no se me había ocurrido usar chat-gpt. Veré lo que me contesta si le pido bibliografía (para corroborar, hasta donde pueda, lo que dice y expandirlo).

P.D.: igualmente Lanczos tiene un libro donde analiza algo de esto y por lo visto el principio del trabajo virtual (según Lanczos) no se puede derivar de las leyes de Newton, pero podría ser que, en equilibrio estático, sí sea equivalente a las leyes de Newton como dice chat-gpt.

[Masacroso]

Por completar, mi duda surgió al leer esto del texto de mecánica clásica de Benacquista y Romano:

It is important to point out that the principle of virtual work is a new principle of mechanics and not a theorem, since (2.24) is not derivable from Newton’s laws, as discussed in Lanczos (1949). Alternatively, one can think of the principle of virtual work as the definition of an ideal constraint force. Then what makes the principle of virtual work useful is that the majority of real constraint forces that we encounter in mechanics (e.g., macroscopic forces exerted by rigid rods and inextendible strings, normal support forces exerted by smooth surfaces, interparticle central forces that hold the mass points together in a rigid body, etc.) are good approximations to the ideal constraint forces that do satisfy this principle. (One main exception is sliding constraint forces.) In addition, as we shall see later in this chapter and the next, the principle of virtual work is the foundation on which all the other variational principles of mechanics are built, e.g., d’Alembert’s principle (Sect. 2.5) and Hamilton’s principle of stationary action (Sect. 3.1).

Pero parece que había interpretado mal el texto, en el sentido de que tal principio es una aproximación al considerar fuerzas de restricción ideales, pero no una aproximación respecto a las leyes de Newton. Buscando una justificación para el uso de tal principio parece ser que su validez proviene de los resultados experimentales en su aplicación, y no (como había supuesto) de alguna clase de razonamiento puramente analítico, al menos eso es lo que parece indicar chatgpt cuando le pregunté por el motivo de la validez de tal principio:

El principio de trabajo virtual se valida o se verifica a través de la observación y la consistencia de las leyes físicas que lo sustentan, particularmente a través de la experimentación y la comparación con los resultados obtenidos en situaciones prácticas.

En términos más detallados, aquí están los aspectos que validan el principio:

1. Conservación de la Energía:
El principio de trabajo virtual está intrínsecamente relacionado con el concepto de conservación de la energía y la simetría de las leyes físicas. Al aplicar el principio a un sistema físico que está en equilibrio o en movimiento, se observa que el trabajo realizado por las fuerzas durante un desplazamiento virtual no cambia la energía total del sistema (lo que implica que el sistema sigue un comportamiento coherente con las leyes de conservación de la energía). Si el principio fuera falso, las ecuaciones que describen el comportamiento físico de los sistemas no se corresponderían con los resultados empíricos.

2. Pruebas Experimentales:
En la práctica, el principio de trabajo virtual ha sido validado a través de su capacidad para predecir correctamente el comportamiento de sistemas físicos bajo diversas condiciones. Si se hace un análisis usando este principio en un sistema mecánico, y se compara con los resultados observados experimentalmente, el principio demuestra ser consistente con las leyes físicas fundamentales, como las leyes de Newton o las de la conservación de la cantidad de movimiento.

3. Consistencia con la Teoría de Lagrange:
El principio de trabajo virtual es uno de los pilares en la formulación de la mecánica lagrangiana, y este enfoque se valida indirectamente por su capacidad para proporcionar ecuaciones que describen de manera precisa y consistente los movimientos de sistemas físicos complejos. Cuando se derivan las ecuaciones de Lagrange, estas proporcionan predicciones sobre el comportamiento de sistemas que coinciden con experimentos y observaciones en la práctica. La capacidad predictiva de la formulación de Lagrange, que depende del principio de trabajo virtual, valida la aplicabilidad del principio en el análisis dinámico.

4. Equilibrio Estático:
En sistemas en equilibrio estático, el principio de trabajo virtual también se valida de manera práctica. Si aplicamos este principio a una estructura en equilibrio, como una viga o una columna, y luego comparamos las predicciones (como las deformaciones) con los resultados experimentales, encontramos que el principio predice correctamente las condiciones de equilibrio y las deformaciones de las estructuras bajo cargas. Esto refuerza la validez del principio en situaciones más estáticas.

5. Simetrías y Conservación de la Cantidad de Movimiento:
El principio de trabajo virtual está relacionado con el principio de simetría de Noether, que establece que las simetrías de las leyes físicas están asociadas con las leyes de conservación (por ejemplo, conservación de la energía, conservación del momento, etc.). Las simetrías de un sistema y su comportamiento en situaciones de trabajo virtual validan el principio, ya que la conservación de estas cantidades físicas en condiciones de equilibrio o movimiento también se mantiene al aplicar este principio.

En resumen:
El principio de trabajo virtual se valida porque coincide con la observación experimental y es consistente con las leyes fundamentales de la física, como la conservación de la energía, las ecuaciones de movimiento de Lagrange y las predicciones sobre el comportamiento de sistemas físicos. En la práctica, cuando se aplica correctamente a sistemas en equilibrio o en movimiento, el principio proporciona resultados que están en total acuerdo con los experimentos y las leyes físicas conocidas.

La primera vez que veo que chatgpt puede servir para algo

[javisot20]

Gracias a dios han dejado de intentar que parezca una persona en favor de la eficacia.

[Fortuna]

Esto es como todo en ciencia. Se empieza por el Principio de d'Alembert y se acaba con las ecuaciones de Eurler-Langrange. Hay quien le ve utilidad al campo de ingeniería o fuerzas estáticas y se desarrolla el principio de trabajo virtual a partir de las leyes de Newton. Si vas a usarlo como modelo en ingeniería, puede serte útil. Estudié, o al menos lo intenté, un libro que desarrollaba las mil formas de trabajar con las ecuaciones de Euler Langrange, con ligaduras de un tipo, de otro, etc y decenas de fórmulas por todos lados. No me enteré de nada perdido entre las ecuaciones. Pero entiendo que si quieres resolver problemas reales, hay que meterse.

Pero si lo que deseas es avanzar en el conocimiento teórico de la mecánica de Hamilton y su evolución posterior, no es un tema importante, es una forma de llegar a ellas (las ecuaciones de Euler Lagrange, me refiero) , pero no la única y de hecho no es la mejor. Es preferible moverse desde el espacio de fases, al estilo de la termodinámica y empezar por estudiar las propiedades del vector tangente a la trayectoria en ese espacio de fases, cuando éstas son la posición y el momento.

En este sentido, puramente teórico, el curso del señor que da el video que puse, merece la pena. Un poco pesado y lento al repetir constantemente que usa subíndice numéricos para indicar las coordenadas x,y,z con x0 x1 y1, pero con pocas fórmulas, sin perderse con el formalismo matemático y remarcando los conceptos fundamentales, te metes de lleno en los fundamentos de la física a niveles alucinantes. Todo, absolutamente, Todas la leyes de la física tienen su origen en el principio de acción estacionaria.

[Masacroso]

Pero si lo que deseas es avanzar en el conocimiento teórico de la mecánica de Hamilton y su evolución posterior, no es un tema importante, es una forma de llegar a ellas (las ecuaciones de Euler Lagrange, me refiero) , pero no la única y de hecho no es la mejor. Es preferible moverse desde el espacio de fases, al estilo de la termodinámica y empezar por estudiar las propiedades del vector tangente a la trayectoria en ese espacio de fases, cuando éstas son la posición y el momento.

Lo que a mí más me interesa aprender de física, en general, es el origen de los modelos (histórico), el origen de la teoría y, especialmente, las limitaciones de cada modelo (cuándo el modelo empieza a fallar), si una fórmula nace meramente de su confirmación experimental o tiene elementos analíticos (es decir, "deducidos" a partir de otras fórmulas experimentales). Y en definitiva llegar a comprender en cada modelo cuáles son sus partes fuertes (lo que más se verifica experimentalmente) y cuáles los más débiles (por donde primero comienza a fallar), y esta información no la encuentro en casi ningún libro de física que haya visto, por eso me surgieron muchas dudas al ver el "postulado" del trabajo virtual, no entendía bien de dónde surgió este postulado ni sus posibles limitaciones.

En este sentido, puramente teórico, el curso del señor que da el video que puse, merece la pena. Un poco pesado y lento al repetir constantemente que usa subíndice numéricos para indicar las coordenadas x,y,z con x0 x1 y1, pero con pocas fórmulas, sin perderse con el formalismo matemático y remarcando los conceptos fundamentales, te metes de lleno en los fundamentos de la física a niveles alucinantes. Todo, absolutamente, Todas la leyes de la física tienen su origen en el principio de acción estacionaria.

Sí, me apunté el canal, lo tengo que ver. Sí, conozco el principio de acción estacionaria, pero me parece más interesante un concepto "local" que no trate con curvas completas sino con trozos infinitesimales, por eso mi atención al principio de trabajo virtual y su origen como forma de deducir el principio de acción estacionaria.

[JCB]

Hola a tod@s.

Aunque vi el tema del Trabajo virtual en Resistencia de materiales algo por encima, las soluciones a las que se llegaba empleando este principio, coinciden con las convencionales de la Estática (empleando $\sum{F_x}=0$, $\sum{F_y}=0$, $\sum{M_O}=0$).

En un plano práctico, quizás si expones un ejemplo concreto, podríamos intentar resolverlo de las dos maneras, para comprobar la unicidad de la solución.

Saludos cordiales,
JCB.

[Masacroso]

Hola a tod@s.

Aunque vi el tema del Trabajo virtual en Resistencia de materiales algo por encima, las soluciones a las que se llegaba empleando este principio, coinciden con las convencionales de la Estática (empleando $\sum{F_x}=0$, $\sum{F_y}=0$, $\sum{M_O}=0$).

En un plano práctico, quizás si expones un ejemplo concreto, podríamos intentar resolverlo de las dos maneras, para comprobar la unicidad de la solución.

Saludos cordiales,
JCB.

Puedo poner el siguiente ejercicio, que parece no es resoluble usando física newtoniana (en su concepción original, o al menos eso se sugiere en artículo adjunto):

Tenemos tres masas puntuales iguales $m_1=m_2=m_3$ pegadas a una vara rígida y sin masa de longitud $2b$, donde la primera y tercera masa están pegadas a los extremos de la vara y la segunda justo en la mitad (es decir, a distancia $b$ de cada una de las otras masas). La primera masa está suspendida de un pivote sin fricción en el origen de un sistema de referencia inercial. Finalmente supongamos que el movimiento del sistema está restringido de tal modo que se produce en el plano XY y sea un campo gravitatorio uniforme $\mathbf{g}=g \hat{\mathbf{e}}_1$. Hallar $\mathbf{f}_3^{\rm (int)}= m_3 \frac{d^2 \mathbf{r}_3}{dt^2}-m_3 \mathbf{g}$.

Básicamente se trata de un péndulo rígido con tres masas puntuales en vez de una, y supuestamente $\mathbf{f}^{\rm (int)}$ es la fuerza interna total ejercida sobre $m_3$.

EDICIÓN: bueno, aquí en este ejercicio y similares usando el principio del trabajo virtual el resultado debería ser válido, ya que las superficies de restricción no dependen del tiempo, por tanto el trabajo virtual y el trabajo real realizado por tales fuerzas son el mismo, que es cero. Entonces, saber si el ejercicio propuesto es resoluble o no usando tal principio no tiene nada que ver con el tema del hilo porque tal principio aquí no es necesario.

Dicho de otro modo: el ejercicio arriba propuesto no nos sirve para comparar métodos y ver "si sale lo mismo". Tendría que ser un ejercicio donde las superficies (o curvas) de restricción variasen con el tiempo.