1r ciclo Partícula unida a varilla de masa despreciable.

[HanT]

Buenas tengo que realizar el siguiente problema y me he quedado un poco atrancado.

Una partícula de masa m describe una trayectoria circular, situada en un plano vertical, al estar unida a una varilla de masa despreciable y longitud R, bajo la acción de la gravedad.

a-. Obtenga la fuerza de ligadura ejercida por la varilla sobre la masa, usando el método de los multiplicadores de Lagrange. Coloque el origen de potencial en el centro de la circunferencia.

Indico como lo he resuelto para que me digan si está bien:

$\vec{r}=r\vec{e_r}$; $\vec{v}=r\dot\phi\vec{e_\phi}$

Por tanto:

$L=T-U=\frac{1}{2}mr^{2}\dot\phi^2-mgr\sin\phi$

Como ecuación de ligadura uso:

$dr=0$

Por tanto:
$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{dt} }(\frac{\partial L}{\partial \dot r })-\frac{\partial L}{\partial r}=\lambda$

Finalmente obtengo:

$mg\sin\phi -mr\dot\phi^2=\lambda$

Resultado que me parece que tiene cierto sentido ya que la fuerza de ligadura sería una fuerza que "equilibra" a la fuerza centrífuga (que surge de considerar un sistema de referencia cuyos vectores de la base cambian en cada punto) y al peso.

Los dos siguientes apartados no sé como abordarlos. He probado alguna cosa pero no me queda muy clara la cosa.

b-.Sea $v_0$ el valor de la velocidad en el punto más bajo de la trayectoria. Calcule el valor de $v_0$ necesario para que la fuerza de ligadura se anule en el punto más alto de la trayectoria. Interprete el resultado de forma newtoniana.
c-.Calcule el valor de $v_0$ necesario para que se anule la velocidad de la partícula en el punto más alto. Interprete el resultado.

[felmon38]

Re: Partícula unida a varilla de masa despreciable.

Creo que debes partir de dos coordenadas generalizadasr,φ), con la ecuación de restricción:r-R=0. Te saldrán dos ecuaciones de Lagrange (una de ellas la has calculado y creo que la tienes bien).La otra ecuación es la ecuación diferencial correspondiente a φ. Me imagino que con estas dos ecuaciones puedes responder a las preguntas.
Saludos

[HanT]

Re: Partícula unida a varilla de masa despreciable.

Cierto. Lo haré a ver si consigo sacar algo. No lo he hecho porque $\lambda$ desaparece en esa ecuación debido a que el coeficiente correspondiente a la ecuación de ligadura es 0 en ese caso, o me equivoco y tengo que poner la ecuación de ligadura de otra forma?

[felmon38]

Re: Partícula unida a varilla de masa despreciable.

Claro, la fuerza de ligadura solo tiene componente en dirección r
Saludos.

[HanT]

Re: Partícula unida a varilla de masa despreciable.

Finalmente lo he resuelto. Sin embargo obtengo resultados distintos en el apartado b y c. En el b si la fuerza de ligadura es cero, la centrífuga se iguala al peso por tanto es equivalente a lo que me pide en el apartado c no?. Teniendo en cuenta que el radio es constante si se anulan las fuerzas no puede seguir a velocidad cte por tanto la velocidad debe ser cero y en las dos velocidades iniciales obtener el mismo resultado. He revisado los cálculos y no encuentro ningún error, sin embargo en uno obtengo raiz de 4gR y en el c raiz de 5gR, lo que me refuerza el pensamiento de que me he equivocado en algún lado. ¿Me comentan algo de los resultados?

Gracias.

[Al2000]

Re: Partícula unida a varilla de masa despreciable.

Las respuestas deberían ser al revés de lo que dices, $\sqrt {5 g R}$ para el inciso b) y $\sqrt {4 g R}$ para el inciso c).

[HanT]

Re: Partícula unida a varilla de masa despreciable.

Las respuestas deberían ser al revés de lo que dices, $\sqrt {5 g R}$ para el inciso b) y $\sqrt {4 g R}$ para el inciso c).

Cierto. Lo puse de memoria y los intercambié. Hoy lo hemos resuelto en clase y el razonamiento estaba más o menos bien. Por si a alguien le interesa, el profesor me ha indicado que, rigurosamente, está mal aplicar la ecuación de ligadura y quitarme la velocidad radial antes de aplicar las ecuaciones de Euler-Lagrange. Puesto que precisamente el método de los multiplicadores de Lagrange se basa en no usar la ecuación de ligadura para quitar variables. Sin embargo, en este caso al menos, sale lo mismo porque después el término que te sale se va ya que es 0 realmente (pero no hay que obviar r punto a la hora de "hacer" Lagrange según mi profesor). Luego ha desarrollado la segunda ecuación de Lagrange, respecto al ángulo, para dejar la expresión de la fuerza de ligadura en función de condiciones iniciales. Bueno, la cuestión es que me he quedado conforme (los apartados b y c no los ha hecho pero bueno espero que estén bien). Sin embargo, yo he dicho que el término que he asimilado con la fuerza centrífuga surge de tomar un sistema de referencia, en principio acelerado, que varía en cada punto. De ahí que tenga sentido obtener esa fuerza de inercia. Sin embargo él me ha indicado que no puedo decir eso ya que no estoy en un sistema de referencia no inercial. La verdad es que no sé, he vuelto a preguntar y me ha dicho que no, tampoco quería insistir. Iré a tutoría pero no me ha quedado claro, ¿qué pensais vosotros?. Me ha comentado que es un término que simplemente surge de pasar a polares pero no me ha aclarado mucho ya que "algo" tendrá que ser y en clase no le ha dado ningún nombre.

[felmon38]

Re: Partícula unida a varilla de masa despreciable.

Yo opino que tu profe tiene buena pinta.
Saludos

[HanT]

Re: Partícula unida a varilla de masa despreciable.

Yo opino que tu profe tiene buena pinta.
Saludos

No opino lo contrario tampoco, pero en la fuerza de inercia tímidamente sí opino lo contrario.

PD: espero que no seas mi profesor

[felmon38]

Re: Partícula unida a varilla de masa despreciable.

Yo no me metería en el berenjenal de fuerzas de inercia ni de sistemas no inerciales.
Saludos

[HanT]

Re: Partícula unida a varilla de masa despreciable.

Es verdad que es lo más sensato, pero como me pedían interpretación pensé que había que "nombrar" cada fuerza. Finalmente en clase se ha dicho que solamente era necesario hacer referencia a que lamda era la tensión, pero ya con el otro término me queda la duda.

[felmon38]

Re: Partícula unida a varilla de masa despreciable.

¿A que otro término te refieres? Solo hay dos fierzas: el peso, englobado en V y la fuerza de la varilla, λ.
Saludos

[HanT]

Re: Partícula unida a varilla de masa despreciable.

A $mr\dot\phi^2$

[felmon38]

Re: Partícula unida a varilla de masa despreciable.

Ese término no es una fuerza por mucho que se le de ese nombre, y que lo que se consigue es liarla.
Saludos

[HanT]

Re: Partícula unida a varilla de masa despreciable.

Ese término no es una fuerza por mucho que se le de ese nombre, y que lo que se consigue es liarla.
Saludos

Sí, no quería decir lo contrario. Reformulo la pregunta: ¿ese término que obtengo es lo que, sin ser una fuerza, comúnmente se llama fuerza de inercia?

Gracias.