1r ciclo Polea con masa unida a un muelle.

[HanT]

Dos cuerpos de masa m están unidos entre sí por una cuerda de longitud l y masa despreciable que pasa a través de una polea. Una de las masas se encuentra unida a un resorte de constante elástica k unido al suelo. En la posición de equilibrio, los dos cuerpos se encuentran a la misma altura respecto del suelo. Se pide:

(a)- Lagrangiana y ecuaciones de movimiento si la polea es de masa despreciable.
(b)- Ídem considerando su masa.
(c)- Determinar cúal es la fuerza de ligadura en la polea utilizando los multiplicadores de Lagrange.
(d)-Obtener las ecuaciones necesarias para calcular, además de la fuerza de ligadura del apartado anterior, la tensión de la cuerda.

Los dos primeros apartados creo que los tengo bien hechos pero me confunden los dos últimos. Pensaba que si empleaba los multiplicadores de Lagrange cabía esperar obtener las tensiones de la cuerda. Sin embargo, después me lo vuelve a pedir, haciendo referencia a otra fuerza de ligadura adicional. No entiendo la existencia del último apartado.

Gracias.

[Richard R Richard]

Re: Polea con masa unida a un muelle.

La polea esta solicitada por las tensiones de las cuerdas a ambos lados pero también esta sujeta al techo por su eje.para no caer debe haber una fuerza de ligadura.

[HanT]

Re: Polea con masa unida a un muelle.

Cierto, no había caído en eso. Gracias.

[HanT]

Re: Polea con masa unida a un muelle.

Buenas, he retomado el problema hoy desde ese día. (Sí, voy un poco atrasado xd) He pensado varias cosas:

-Está claro que hay varias ligaduras, por tanto, para cada ligadura un multiplicador de Lagrange. Sin embargo estoy un poco confundido. Identifico tres ligaduras:
$dy=0$ siendo $y$ el movimiento de traslación de la polea.
$dx_1 +dx_2=0$ siendo $x_1$ y $x_2$ los desplazamientos de las masas $m_1$ y $m_2$, respectivamente.
$dx=Rd\theta$
Entonces, no sé muy bien como casar estas ecuaciones de ligadura con lo que me piden.
En el apartado (c), con la aclaración de Richard, si lo que me piden es la fuerza de ligadura que mantiene fija la polea supongo que lo que hay que usar es la primera ecuación de ligadura. Y como estamos aplicando multiplicadores de Lagrange poner las velocidades como:
$m_1: \frac{dx_1}{dt}+\frac{dy}{dt}$
$m_2: \frac{dx_2}{dt}+\frac{dy}{dt}$
Pero tengo varias dudas ya que no he hecho ningún ejercicio con más de un multiplicador.
¿Puedo sustituir las ligaduras que me interesen y dejar para el multiplicador de Lagrange la ligadura sin sustituir cuya fuerza quiero calcular? o, si aplico multiplicadores, ¿no puedo sustituir ninguna de las ecuaciones de ligadura que tenga? A esta pregunta creo que si aplico multiplicadores tengo que aplicarlo para todas las ligaduras pero pregunto por si acaso.

Además tengo otra duda. ¿A qué corresponden cada una de las otras ligaduras? Las tensiones, como la polea tiene masa, no son iguales a cada lado por tanto me quedan 2 ligaduras y 2 multiplicadores que corresponderán cada uno a una tensión pero no veo muy claro a cual corresponde cada una.

Gracias.

[Richard R Richard]

Re: Polea con masa unida a un muelle.

Otra ligradura sería la que ancla el muelle,

no se muy bien como se usan lo multiplicadores, pero

la ecuaciones serían

$T-m_1g+k x=m_1a_1$

$T-m_2g=-m_2a_1$