1r ciclo Trayectoria tras aplicar una pequeña perturbación

[Etmoides]

[FONT=Calibri]Hola, no tengo claro cómo demostrar lo que pide el siguiente ejercicio:

Dos partículas de masa m están unidas por un hilo sin masa y de longitud l a través de un orificio en el centro de una tabla horizontal. Una de las masas desliza sin rozamiento sobre la tabla, mientras que la otra cuelga por debajo, desplazándose verticalmente. Hallar el radio [FONT=Calibri]${r}_{0 }$[/FONT] tal que la masa que desliza describa un movimiento circular y demostrar que, si se le aplica un pequeño impulso radial, oscilará armónicamente alrededor del radio inicial [FONT=Calibri]${r}_{0 }$[/FONT] de la trayectoria circular.

[/FONT]He hallado la ecuación diferencial del movimiento: $\frac{\mathrm{d}^2 r}{\mathrm{d} t^2 }-\frac{J^2}{ 2m^2r^3}+\frac{g}{2}$
[FONT=Calibri]
Y que el radio necesario para que la órbita sea circular es: ${r}_{0 }=\sqrt[3]{\frac{J^2}{m^2g }}$[/FONT]

[FONT=Calibri]Pero no veo cómo hacer para demostrar lo que se pide. ¿Podría alguien darme alguna indicación?

Gracias[/FONT]

[elmecama]

Re: Trayectoria tras aplicar una pequeña perturbación

Hola. Lo que debes demostrar es que ese radio es el de una órbita de equilibrio estable. Puedes hacerlo considerando la energía del sistema.

[Breogan]

Re: Trayectoria tras aplicar una pequeña perturbación

Hola:

La energía cinética del sistema es la suma de la energía cinética de las dos masas:

$\dst T = T_1 + T_2$

La energía cinética de la masa sobre la mesa (m1), esta dada por:

$\dst T_1 =\frac 12 \ m_1 \ v_1^2 = \frac 12 \ m_1 \ \left(v_r^2 + v_{\theta}^2 \right) = T_r + T_{\theta}$

La energía radial es:

$\dst T_r = \frac 12 \ m_1 \ \dot r ^2$

La velocidad lineal en $\theta$ esta dada por

$\dst v_{\theta} = r \ \dot{\theta}$

y la energía cinética correspondiente sera:

$\dst T_{\theta} = \frac 12 \ m_1 \ \left( r^2 \ \dot{\theta}^2 \right)$

Por lo cual la energía cinética de m1 es:

$\dst T_1 = \frac 12 \ m_1 \ \left( \dot r^2 + r^2 \ \dot{\theta}^2 \right)$

y teniendo en cuenta que $\dst z=r-l \quad \Rightarrow \quad v_2 = \dot z = \dot r$, la energía cinetica de m2 es:

$\dst T_2 = \frac 12 m_2 v_2^2 = \frac 12 \ m_2 \ \dot r ^2$

y la energía cinética total es:

$\dst T = \frac 12 \ m_1 \ \left( \dot r^2 + r^2 \ \dot{\theta}^2 \right) + \frac 12 \ m_2 \ \dot r ^2$

La energía potencial total es:

$\dst U = U_1 + U_2$

Con el origen del SR sobre la mesa resulta que:

$\dst U_1 = 0$

$\dst U_2 = m_2 \ g \ z$

$\dst z = - \left( l -r \right)$

y la energía potencial total es:

$\dst U = - \ m_2 \ g \ \left( l -r \right)$

El lagrangiano del sistema resulta:

$\dst L = T - U$

$\dst L = \frac 12 \ m_1 \ \left( \dot r^2 + r^2 \ \dot{\theta}^2 \right) + \frac 12 \ m_2 \ \dot r ^2 + m_2 \ g \ \left( l -r \right)$

Como en el problema se cumple que $\dst m_1 = m_2$, resulta:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Aplicamos la 1^er ecuación de Lagrange:

$\dst \frac{\partial L}{\partial \theta}-\frac{\dd }{\dd t}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot\theta}\right)=0$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

De donde resulta la 1º ecuación diferencial:

$$\dst 2 \ \dot r \ \dot \theta + r \ \ddot \theta = 0$$

Aplicamos la 2^da ecuación de Lagrange:

$\dst \frac{\partial L}{\partial r}-\frac{\dd }{\dd t}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot r}\right)=0$
[FONT=Verdana]
[/FONT][Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

De donde resulta la 2^da ecuación diferencial:

$$\dst r \ \dot \theta^2 - g - 2 \ \ddot r = 0$$

Si consideramos que r = r0 = cte. resulta:

$\dst r = r_0 = cte. \quad \Rightarrow \quad \dot r = \ddot r = 0$

La ecuación (1) queda:

$\dst r_0 \ \ddot \theta = 0 \quad \Rightarrow \quad \ddot \theta = 0 \quad \Rightarrow \quad \dot \theta = cte.$

y la ecuacion (2) resulta:

$$\dst r_0 \ \dot \theta^2 - g = 0$$

Que es la ecuación buscada de r0.

Mañana lo sigo.

s.e.u.o.

Suerte!!!

PD: creo que no mencione en ningún lado que use coordenadas cilíndricas con el origen en el agujero que atraviesa la mesa, y con el semieje positivo de z (z+) hacia arriba. Disculpas.

Suerte!

[surrealfrog]

Re: Trayectoria tras aplicar una pequeña perturbación

Puedes usar teoría de perturbaciones