1r ciclo Partícula ensartada en varilla

[HanT]

Una partícula de masa m está ensartada en una varilla que gira con velocidad angular $\omega$ uniforme en un plano horizontal y con el origen de coordenadas como centro de rotación. La partícula está sometida a una fuerza $\vec{f}=-k\vec{r}$, siendo $\vec{r}$ el vector de posición de la partícula. Obtenga la ecuación de movimiento utilizando la formulación lagrangiana. Si inicialmente la partícula se encuentra a una distancia $R$ del origen y la componente radial de su velocidad es nula, calcular la posición de la partícula en función del tiempo para $\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$

Buenas, he resuelto este ejercicio pero tengo dudas respecto a la solución obtenida y me gustaría saber si veis algún fallo en el procedimiento:

El sistema se compone de un cuerpo, en principio descrito por 6 variables (3 de traslación más 3 de rotación). Sin embargo, al tratarse de una partícula puntual (no rota) reducimos el estudio a la traslación de la partícula: 3 variables $(x,y,z)$. Ahora introduzcamos las ligaduras para determinar los grados de libertad del sistema. El movimiento se produce en el plano $xy$ luego $z$ es cte y la tomamos como $z=0$. Hacemos un cambio a polares, de $(x,y)$ a $(r,\phi)$. Introducimos una ligadura más puesto que la varilla gira con velocidad angular constante $\dot{\phi}=\omega$. Por tanto el sistema tiene un grado de libertad (3 variables - 2 ligaduras= 1 GL) nos queda:

$\mathcal{L}=T-U=\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2)-U=\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\omega^2)-U$

La partícula está sometida a una fuerza $\vec{f}=-k\vec{r}$. Por definición:

$f(r)=-\frac{dU}{dr}$

$<br /> U=\frac{1}{2}kr^2+U_0=\frac{1}{2}kr^2$

Sustituyendo $U$ en $\mathcal{L}$:

$\mathcal{L}=\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\omega^2)-\frac{1}{2}kr^2$

Aplicando las ecuaciones de Euler-Lagrange:

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial r}-\frac{d}{dt}(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{r}})=0$

Obtenemos:

$m\ddot{r}+kr-mr\omega^2=0$

$\ddot{r}+\frac{k}{m}r-r\omega^2=0$

Atendiendo a la segunda parte del enunciado: si inicialmente la partícula se encuentra a una distancia $R$ del origen y la componente radial de su velocidad es nula, calcular la posición de la partícula en función del tiempo para $\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$. Sustituimos el valor de omega:

$\ddot{r}+\omega^2r-r\omega^2=0$

$\ddot{r}=0$

$r=\dot{r_0}t+r_0=\dot{r_0}t+R$

Edit: acabo de percatarme de que la componente radial inicial es nula luego $r=R$, pero claro esto me cuadra menos xd.