Ligaduras, ecuación de ligaduras

[alexpglez]

Tenía varias dudas acerca de las ligaduras dadas por una ecuación del tipo: $g(q_i(t),\dot q_i(t),t)=0 \in \mathbb R^l \;\; \forall t \in [a,b]$
En el libro de Goldstein, demostraba el caso particular para ecuaciones lineales respecto de las velocidades:

$$\delta S_{q_i}=\sum_i \int_a^b (\frac{\partial L}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i})h_i(t) dt=0$$

Las ecuaciones de ligadura son del tipo

$$\sum_{i=1}^n a_{k,i}(q(t),t)\dot q_i(t)+b_{k}(q(t),t)=0$$

de donde:

$$\sum_i a_{k,i}(q(t),t) h_i(t)=0$$

Y de álgebra lineal, como son l ecuaciones con n incógnitas, el sistema generador vendrá dado por n-l vectores. Sean los n-l primeros dependientes y los l últimos dependientes.

Multiplicando las ecuaciones de ligadura 2 con l multiplicadores de lagrange $\{\lambda_j(t)\}_{j=1}^l$ e integrando (que da 0) y sumando a 1.

$$\sum_{i=1}^n \int_a^b (\frac{\partial L}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}+\sum_j \lambda_j a_{j,i})h_i(t) dt=0$$

Eligiendo los multiplicadores de Lagrange tal que:

$$\frac{\partial L}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}+\sum_j \lambda_j a_{j,i}=0 \;\; \forall i \in {n-l+1,...,n}$$

Nos queda:

$$\sum_{i=1}^{n-l} \int_a^b (\frac{\partial L}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}+\sum_j \lambda_j a_{j,i})h_i(t) dt=0$$

Y como todos son independientes los n-l h son independientes también se cumple que:

$$\frac{\partial L}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}+\sum_j \lambda_j a_{j,i}=0 \;\; \forall i \in {1,...,n-l}$$

Mis dudas en esta deducción son cómo se deduce (2'). Es decir, yo previamente había pensado que toda variación permitida según (2), debería cumplir:

$$F(q(t)+h(t),\dot q(t)+\dot h(t),t)$$

Con lo que, como q cumple(2), llamando un nuevo $h(t)=\lambda h(t)$ y tendiendo $\lambda$ a 0:

$$0=\lim_{\lambda \to 0} \frac{F(q(t)+\lambda h(t),\dot q(t)+\lambda \dot h(t),t)-F(q(t),\dot q(t),t)}{\lambda}=\sum_i \frac{\partial F}{\partial q_i}h_i+\frac{\partial F}{\partial \dot q_i}\dot h_i$$

Lo que evidentemente no es lo mismo que (2') para nuestro caso particular.

Estoy leyendo este artículo https://arxiv.org/pdf/1010.3902.pdf. En donde se argumenta que el principio de acción estacionaria no es válida para este tipo de fuerzas ya que el conjunto de las variaciones permitidas por el sistema que deducen (2') es menor que el que he usado para deducir (2'').

¿Alguien me podría explicar qué estoy haciendo mal para no entender (2')?

Gracias, saludos

PD: En el Goldstein se indica que de (2) $\sum_i a_{k,i}dq_i+b_{k}dt=0$ y tomando $dt=0$, $dq_i=h_i$... pero este argumento sobre diferenciales me parece díficil de entender a simple vista