1r ciclo Escribir ecuacion de movimiento

[Guerrero Sierra Paulina]

Una partícula de masa m se mueve bajo la influencia de una fuerza $\vec{F}$ sobre la superficie de una esfera de radio $R$. Escriba la ecuación de movimiento.

pensaba usar coordenadas esféricas para escribir la fuerza aplicada a la partícula pero nose como

[Richard R Richard]

Re: Escribir ecuacion de movimiento

La fuerza F debe ser una composición de dos fuerzas una que equilibre el peso de la partícula y otra variable en dirección radial que sea igual a la fuerza centrípeta.
Asi hay que suponer un punto de partida ,una velocidad y dirección de movimiento iniciales,de ese modo la partícula seguirá la superficie de la esfera ,describiendo una circunferencia de Radio igual a la de la esfera.
Si tienes que parametrizar en función del tiempo, usa la velocidad tangencial inicial
$V=\omega r$ y describe el movimiento con dos funciones sinusoidales ,donde el ángulo es $\theta=\omega t$

[ignorante]

Re: Escribir ecuacion de movimiento

Una duda: si ya se especifica que la partícula se mueve sobre la superficie de una esfera, entonces su trayectoria es un círculo, independientemente de la fuerza que se menciona, ¿o no? De ser así, entonces la ecuación de movimiento corresponde a un simple movimiento circular (la ecuación de una circunferencia x² + y² = R²), sin necesidad de complicarse con fuerzas u otras cosas, ¿o no?

[Richard R Richard]

Re: Escribir ecuacion de movimiento

Lo que defines con la ecuación $x^2+y^2=r^2$ es la trayectoria , la ecuación del movimiento te permite saber en todo momento la posición de la partícula.
Si la fuerza no cumple esos requisitos, la trayectoria no sera al menos una circunferencia, podemos tener cualquier trayectoria mientras sea tangente a la esfera, pero el enunciado es demasiado vago como para aclararlo, por lo tanto conviene resolver el caso mas simple de los infinitos posibles.

[carroza]

Re: Escribir ecuacion de movimiento

Una partícula de masa m se mueve bajo la influencia de una fuerza $\vec{F}$ sobre la superficie de una esfera de radio $R$. Escriba la ecuación de movimiento.

pensaba usar coordenadas esféricas para escribir la fuerza aplicada a la partícula pero nose como

Hola. Este problema es facil si conoces mecánica lagrangiana:

- Toma el eje z a lo largo de $\vec F$. Con ello, el potencial es $V(z) = - F z$, que en coordenas esfericas es $V(\theta)= - F R \cos(\theta)$.

- Escribe la energía cinérica en coordenadas esféricas $T =m/2( {\dot R}^2 + R^2 {\dot \theta}^2 + R^2 \sin^2{\theta}\, {\dot \phi}^2)$. Como R es cosntante, puedes ignorar el término en ${\dot R}^2$.

- El lagrangiano te queda: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .

Aplicas las ecuaciones de Euler lagrange, y ya tienes las ecuaciones de la trayectoria en forma diferencial. Las integras con las condiciones iniciales, y listo.

Puedes tener en cuenta las dos constantes de movimiento de este sistema, a la hora de integrar las ecuaciones diferenciales. Una es la energía:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Otra es la proyeccion del momento angular a lo largo del eje Z:

$L_z = m R^2 \sin^2 \theta \, \dot \phi$.

Si las combinas ambas, obtienes

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .

Si ahora consideras los casos en los que $\dot \theta = 0$, puedes obtener los valores máximo y mínimo de $\theta$, $\theta_m ,\theta_x$ a partir de la ecuación anterior.

Esto te da la descripcion cualitativa de la trayectoria: $\phi(t)$ aumenta continuamente con el tiempo, conforme la particula da vueltas en torno al eje z. $\theta(t)$ oscila entre los valores $\theta_m ,\theta_x$.




Saludos

[Alriga]

Re: Escribir ecuacion de movimiento

Una duda: si ya se especifica que la partícula se mueve sobre la superficie de una esfera, entonces su trayectoria es un círculo, ...

... podemos tener cualquier trayectoria mientras sea tangente a la esfera, ...

Como dice Richard hay infinitas trayectorias sobre la esfera que no son circunferencias. Por ejemplo, sobre una esfera de radio R con $a, \ b \in \mathbb R$, ésta es en general una trayectoria no circular:

$\vec r(t)=R\cos a t \cos b t \ \hat i+R\sin a t \cos b t \ \hat j+R\sin b t \ \hat k$

Para demostrar que la curva está siempre sobre la superficie de la esfera, basta con ver que se cumple que $x^2+y^2+z^2=R^2$ para todo t:

$R^2\cos^2 a t \cos^2 b t +R^2\sin^2 a t \cos^2 b t+R^2\sin^2 b t=R^2$

Saludos.