1r ciclo Lagrangianas equivalentes

[alexpglez]

Buenas tardes,

Es bien conocido el resultado que si dos lagrangianas difieren de una derivada total de las funciones coordenadas y el tiempo, entonces llevan a las mismas ecuaciones de movimiento, pues la variación de la diferencia de las acciones se anula.

$$\delta \int_a^b \frac{d}{dt} f(q(t),t)= \frac{\partial f}{\partial q} (q(t),t) \delta q(t)\vert_a^b=0$$

Pues tomamos $\delta q(a)=\delta q(b)=0$ en el principio de acción estacionaria.

Ahora bien, he estado leyendo que si $L$ y $L'$ llevan a la misma ecuación de movimiento, entonces existe $f: \mathbb R^n \times [a,b] \longrightarrow R$ tal que:

$$L'(q,\dot q,t)=L(q,\dot q,t)+\frac{\partial f}{\partial q_i}\dot q_i +\frac{\partial f}{\partial t}$$

http://materias.df.uba.ar/mecclasa2015c1/files/2015/04/noether.pdf

Edito: Obviamente no es cierto (disculpad el lapsus), estoy viendo el teorema de Nöether y no me queda claro por qué la diferencia de las lagrangianas (despreciando infinitésimos de orden superior) es una derivada total de una función de las coordenadas y el tiempo:

$$\frac{d}{d \epsilon} L(q,\dot q, t, 0)=\frac{df(q,t)}{dt} =\sum_i \frac{\partial f}{\partial q_i}(q,t)\dot q_i + \frac{\partial f}{\partial t}(q,t)$$