1r ciclo Varilla lagrangiana

[unoonox]

Buenas, tengo el siguiente ejercicio:

Una varilla sometida al campo gravitatorio cae manteniéndose en el plano vertical de forma que el el extremo inferior permanece apoyado en el plano horizontal sobre el cual puede deslizar sin rozamiento. Calcular, por medio de la mecánica analítica, las ecuaciones de movimiento de la varilla de masa M y longitud L.

Bien, evidentemente habrá que elegir un ángulo como coordenada, pero lo que a mí me lía es el hecho de que la varilla al cae deslice. ¿Implica eso que necesito otra coordenada o sólo con el ángulo bastaría?.

Si sólo es el ángulo, ¿en qué se diferenciaría el problema de uno en el que la varilla tuviera en el extremo inferior un pivote que la mantuviese fija en ese punto?



Se agradece la ayuda

[Alriga]

Re: Varilla lagrangiana

En mi formación apenas di durante 2 o 3 semanas mecánica lagrangiana hace 30 años, por lo que todo lo que te diga cógelo con pinzas.

... Bien, evidentemente habrá que elegir un ángulo como coordenada, pero lo que a mí me lía es el hecho de que la varilla al cae deslice. ¿Implica eso que necesito otra coordenada o sólo con el ángulo bastaría? ...

Entiendo que sí, que necesitas otra coordenada y que para obtener las energías la coordenada más fácil de elegir será la "x" del CENTRO de MASA que coincide con el centro de la varilla.

La posición del centro de masa es:

$\vec r=x \ \hat i+\dfrac L 2 \sin \theta \ \hat j$

$\vec v=\dot x \ \hat i+\dfrac L 2 \dot \theta \cos \theta \ \hat j$

La energía cinética

$T=\dfrac 1 2 m v^2+\dfrac 1 2 I \omega^2$

"I" es el momento de inercia de la varilla respecto de su centro de masa

$v^2=\dot x^2+\dfrac {L^2}4 \dot \theta^2 \cos^2 \theta$

$\omega=\dot \theta$

$$T=\dfrac 1 2 m \Big (\dot x^2+\dfrac {L^2}4 \dot \theta^2 \cos^2 \theta \Big )+\dfrac 1 2 I \dot \theta^2$$

La energía potencial

$$V=mg \dfrac L 2 \sin \theta$$

Resta V de T y ya tienes el Lagrangiano.

$\mathcal L=T-V$

$\mathcal L=\dfrac 1 2 m \Big (\dot x^2+\dfrac {L^2}4 \dot \theta^2 \cos^2 \theta \Big )+\dfrac 1 2 I \dot \theta^2-mg \dfrac L 2 \sin \theta$

Recuerda que el momento de inercia de la varilla respecto de su centro es:

$I=\dfrac 1{12} \ m \ L^2$

$$\mathcal L=\dfrac 1 2 \ m \ \dot x^2+\dfrac {1}{24} \ m \ L^2 \ \Big (1+3 \cos^2 \theta \Big ) \ \dot \theta^2- \dfrac 1 2 \ m \ g \ L \sin \theta$$

A partir del Lagrangiano supongo que no tendrás problemas para obtener las ecuaciones del movimiento aplicando las Ecuaciones de Euler-Lagrange, pero si te encallas, pregunta.

Por lo que te he dicho al principio, repásalo todo, saludos.