1r ciclo Periodo de oscilacion

[Fidel98]

Hola gente, tengo una duda con el siguiente ejercicio: Una partícula de masa m se mueve en una línea recta bajo la acción de una fuerza cuya energía potencial asociada es V(x)=A|x|^n. Determine el período de oscilación de la partícula en función de su energía E.
Mi duda es la siguiente, el periodo de oscilacion lo puedo obtener integrando la ecuacion dif. que obtengo a partir de la energia? Y en caso de ser asi, tendria que fijarme para que valores de n la fuerza sera restitutiva?

[arivasm]

Re: Periodo de oscilacion

Yo lo enfocaría de esta manera, pero no sé si ayudará demasiado. Quizá sea un tanto "a pedal"

En primer lugar, está claro que la fuerza es siempre restauradora, con tal de que $n>0$. Haz la gráfica de $V(x)$ frente a $x$ y, teniendo en cuenta que $F_x=-\dd V/\dd x$ lo verás claramente: la pendiente, cambiada de signo, siempre apunta hacia el origen.

Como la fuerza es conservativa, la energía mecánica será $E=A|x|^n+\frac{1}{2}m\dot x^2$. Por otra parte, el período de oscilación será el cuádruple del tiempo que tarde la partícula en moverse desde el origen hasta el punto de retroceso existente en la zona $x>0$. El motivo de recurrir a ese truco es deshacerse del engorroso valor absoluto. Dicho punto será $x=(E/A)^{1/n}$.

Como para esa parte del movimiento se cumple que $E=Ax^n+\frac{1}{2}m\dot x^2$, tenemos la ecuación diferencial

$\dfrac{\dd x}{\dd t}=\sqrt{\dfrac{2(E-Ax^n)}{m}}$

Por tanto, la respuesta buscada sería

$\dst T=4\int_0^{(E/A)^{1/n}}\sqrt{\dfrac{m}{2(E-Ax^n)}}\dd x$

El problema está en que me temo que la integral no tiene una solución general, sino que hay que tratar cada posible $n$. En algunos casos, como $n=1$ o $n=2$ sí es relativamente sencilla, pero veo (he recurrido a software) que fuera de esos la cosa se "retuerce"

[Fidel98]

Re: Periodo de oscilacion

Gracias che. Supongo que el objetivo del ejercicio sera mas que nada hallar el punto de retorno y dejar el periodo expresado mediante la integral.