1r ciclo Problema con multiplicadores de Lagrange

[elmecama]

Buenas tardes. Estoy resolviendo un problema de mecánica analítica y no me doy cuenta de cómo usar las ecuaciones de movimiento para llegar al resultado pedido. Dejo el enunciado del problema con lo que he hecho:

Considere un aro homogéneo de radio R y siempre vertical, que rueda sin deslizar sobre una superficie horizontal (vínculos no holónomos). Halle las ecuaciones de movimiento, resuélvalas y demuestre que el centro de masa se mueve en un círculo. Halle el radio de ese movimiento circular y su rapidez en términos de R y las velocidades angulares.

Las coordenadas generalizadas que elegí son 4:

$\text{C.G.}=(x,y,\theta,\varphi)$

donde $(x,y)$ son las coordenadas del centro de masa (o del punto de contacto con la superficie) en la superficie, $\theta$ es el ángulo del aro respecto al eje $x$ sobre la superficie, y $\varphi$ es el ángulo de rotación del aro, medido con respecto a la vertical.

Lo primero que hice fue encontrar las ecuaciones de los vínculos. Éstas salen de la condición de rodadura sin deslizamiento:

$\dot{x} \hat{\imath}+ \dot{y} \hat{\jmath}=R(- \dot{ \varphi }sin( \theta)\hat{\imath}+ \dot{ \varphi }cos( \theta)\hat{\jmath})$

$\Rightarrow \dot{x}+ R \dot{ \varphi}\sin(\theta)=0$
$\dot{y}- R\dot{ \varphi }cos( \theta)=0$


Ahora lo que hice fue encontrar el lagrangiano. Como la energía potencial es constante, éste es simplemente la energía cinética:

$L=\frac{1}{2}M(\dot{x}^{2}+ \dot{y}^{2}+R^{2}(\frac{\dot{\theta}^{2} }{2}+ \dot{ \varphi } ^{2}))$

Como los vínculos no son holónomos tengo que usar los multiplicadores de Lagrange. Haciendo las derivadas correspondientes tanto para las ecuaciones de los vínculos como para el Lagrangiano, me quedan las siguientes ecuaciones de movimiento:

$\frac{1}{2 }MR^{2}\ddot{ \theta }+ \lambda_{1}R\dot\varphi\cos(\theta)+\lambda_{2}R\dot\varphi\sin(\theta)=0$

$MR^{2} \ddot{ \varphi }+\lambda_{1}R\sin(\theta)-\lambda_{2}R\cos(\theta)=0$

$M\ddot{x}+\lambda_{1}=0$

$M\ddot{y}+\lambda_{2}=0$

$\dot{x}+R\dot{\varphi}\sin(\theta)=0$

$\dot{y}-R\dot{\varphi}\cos(\theta)=0$

Entonces tengo 6 ecuaciones para 6 incógnitas. Pero ahora no sé cómo encontrar lo que me piden... tengo que resolver estas ecuaciones, pero no sé cómo. O sea, ¿qué estoy buscando?
Lo más que pude hacer fue encontrar $\theta(t)$, pero no me sirve para justificar lo que me piden (que la trayectoria es una circunferencia) y además no sé si está bien, porque en el camino me encontré que $\dot{\varphi}$ es constante, cosa que no sé si tiene sentido...

Se me había ocurrido también tratar de reducir las 6 ecuaciones en un sistema para $x$ o $y$ y $\theta$, y así encontrar las coordenadas del centro de masa en función del ángulo, y de esa forma poder ver la ecuación de la circunferencia que se debería formar, pero lo intento y llego a cosas como que $\cos(\theta)=-\frac{1}{\cos(\theta)}$

En fin... si alguien me puede dar una idea de qué hacer ahora le estaría muy agradecido.

Saludos!

[carroza]

Re: Problema con multiplicadores de Lagrange

Hola.

No veo por qué tienes que usar multiplicadores de Lagrange. Sustituye las expresiones $\dot{x} , \dot{y}$ en el lagrangiano, con lo que te queda un lagrangiano solo en función de $\dot{\theta}, \dot{\phi}$. Eso te lleva a que $\dot{\theta}, \dot{\phi}$ son constantes en el tiempo, lo que te da las trayectorias circulares.

Saludos