1r ciclo Relación entre variables de posición y momentos conjugados en el Hamiltoniano

[Atder]

Estaba mirando unos apuntes de mecánica teórica y me encontré la siguiente afirmación: en el Hamiltoniano, las variables posición y sus momentos conjugados son independientes entre si. Es decir, el momento para una cierta coordenada no depende de esa y viciversa.

Esto me sorprende porque si bien pueden no depender explícitamente, eso no significa que sean independientes. Es más, por qué en el Hamiltoniano son independientes y en el Lagrangiano no?
Sé de sobra que las variables naturales del Hamiltoniano son las variables de posición y los momentos (espacio de fase), pero no entiendo porque son independientes.

Gracias por la clarificación.