1r ciclo Ejercicio Euler-Lagrange

[chuca]

[img]Hola! Hoy me puse con un ejercicio de mecánica y aunque parecía que la cosa marchaba bien... me parece que no es así del todo porque al final me queda una ecuación diferencial para resolver que ni sé por donde cogerla, así que os dejo aquí el enunciado del problema así como mi planteamiento (hasta la dichosa ecuación) y si véis el (los) fallo(ssss) y me los podéis comunicar os lo agradecería. Y si es que va bien (ojalá jeje) pues como se resuelve la EDO????

PROBLEMA:

Estudia el movimiento de un péndulo de masa m y longitud l que cuelga de una masa M que se mueve sin rozamiento sobre una recta horizontal.

Como no hay rozamiento, la única fuerza que actúa sobre este sistema físico es la gravedad, de modo que podemos aplicar la ecuación de Euler-Lagrange que se corresponde a la siguiente expresión:

$\frac{d}{dt}\frac{{\partial L}}{{\partial \dot{q_i}}}$donde los q_i son coordenadas generalizadas

Definimos la función de Lagrange como: L=T-V donde T es la energía cinética total del sistema y V es la energía potencial del sistema.
$<br /> T=\displaystyle\sum_{i=1}^n{T_i}= T_1 + T_2<br /> <br /> V=\displaystyle\sum_{i=1}^n{V_i}= V_1 + V_2<br />$
Voy a elegir el origen de potenciales en la recta horizontal por la que se mueve la masa M, asi que:

$<br /> V_1=0 <br /> <br /> <br /> V_2=mgh=mgy_2=-mglcos(\alpha)<br />$

Por otro lado:

$<br /> T_1=\displaystyle\frac{1}{2}M{v_1}^2=\displaystyle\frac{1}{2}M\dot{x_1}^2$ (ya que y_1=0)

$<br /> T_2=\displaystyle\frac{1}{2}m{v_2}^2=\displaystyle\frac{1}{2}m[\dot{{x_2}}^2+\dot{{y_2}}^2] <br />$

Ahora vamos a analizar las condiciones de ligadura del problema. Tenemos 2 partículas (masas) en el plano, por tanto tenemos 4 coordenadas que determinar: x_1, x_2, y_1, y_2 . Pero tengamos en cuenta las ligaduras del problema:

$x_2= x_1 -lsen(\alpha)<br /> <br /> y_2=-lcos(\alpha)$

Así que tenemos 2 ecuaciones que nos relacionan las coordenadas, por lo que el grado de libertad del sistema será 2: $x_1$ y $\alpha$

Luego; la función de Lagrange nos queda:

$L= \displaystyle\frac{1}{2}(M+m)\dot{x_1}^2 + \displaystyle\frac{1}{2}ml^2\dot{\alpha}^2 - ml\dot{x_1}\dot{\alpha}cos(\alpha) + mglcos(\alpha)$

Aplicando la fórmula de Lagrange para \alpha y x_1 tenemos lo que sigue:

$\frac{{\partial L}}{{\partial \dot{\alpha}}}=ml^2\dot{\alpha} - ml\dot{x_1}cos(\alpha)$

$\frac{d}{dt}\frac{{\partial L}}{{\partial \dot{\alpha}}}= ml^2\ddot{\alpha} - ml[\ddot{x_1}cos(\alpha) - \dot{x_1}\dot{\alpha}sen(\alpha)]$

$\frac{{\partial L}}{{\partial \alpha}}= ml\dot{x_1}\dpt{\alpha}sen(\alpha) - mglsen(\alpha)$

Por Euler-Lagrange igualamos la dos expresiones anteriores de la cual me queda finalmente (después de eliminar los términos y reorganizarla):

$\ddot{\alpha} - \displaystyle\frac{\ddot{x_1}}{l} + \displaystyle\frac{g}{l}sen(\alpha)=0$


Y hasta aquí llegué (sé que me falta hacer lo mismo para la otra coordenada), pero no sé como resolver está ecuación diferencial.

Si me podéis echar una mano se agradece!

Pd: quería introducir el dibujo correspondiente pero no sé como se inserta un imagen.

Saludos!

[aLFRe]

Re: Ejercicio Euler-Lagrange

Y hasta aquí llegué (sé que me falta hacer lo mismo para la otra coordenada), pero no sé como resolver está ecuación diferencial.

Tienes dos dificultades en tu problema.
La primera es que parece que te salen dos ecuaciones diferenciales acopladas
habría que ver si tu elección de variables no te ha complicado el problema.
La segunda es que si logras desacoplar las dos ecuaciones diferenciales
si buscas resolver el caso general donde ´
ese ángulo $\alpha$ no es siempre pequeño
y NO puedes hacer la aproximación $\sin \alpha\approx \alpha$
te saldrá una integral elíptica de primera especie
y tendrás que recurrir a un método numérico
o a una solución en serie ( desarrolla el seno en serie e integra )

Un saludo.

[chuca]

Re: Ejercicio Euler-Lagrange

amsss, ok ok. eso de acopladas sucede siempre que apareza dos derivadas dependientes del tiempo y no se puede integrar dejando una de ellas constante no????

pero hay un problema: no sé como se desarrolla el seno en serie jeje...

este problema no sería más fácil resolver con la dinámica de newton??


saludos

[carroza]

Re: Ejercicio Euler-Lagrange

[img]
PROBLEMA:

Estudia el movimiento de un péndulo de masa m y longitud l que cuelga de una masa M que se mueve sin rozamiento sobre una recta horizontal.


Ahora vamos a analizar las condiciones de ligadura del problema. Tenemos 2 partículas (masas) en el plano, por tanto tenemos 4 coordenadas que determinar: x_1, x_2, y_1, y_2 . Pero tengamos en cuenta las ligaduras del problema:

$x_2= x_1 -lsen(\alpha)<br /> <br /> y_2=-lcos(\alpha)$

Así que tenemos 2 ecuaciones que nos relacionan las coordenadas, por lo que el grado de libertad del sistema será 2: $x_1$ y $\alpha$

Puedes poner una ligadura más: Como no hay ninguna fuerza en la dirección x, el momento en la dirección x se conserva.

Puedes elegir, por tanto, un sistema de referencia en el que el momento total en la dirección x se anule, y en concreto, que la posición del centro de masas sea cero.

En resumen, que puedes elegir un sistema de referencia en el que
$M x_1 + m x_2 = 0$


Por otro lado, creo que en este contexto es razonable suponer que el ángulo es pequeño (ocurre para todos los péndulos habituales).

[Jose D. Escobedo]

Re: Ejercicio Euler-Lagrange

$\ddot{\alpha} - \displaystyle\frac{\ddot{x_1}}{l} + \displaystyle\frac{g}{l}sen(\alpha)=0$

Como ha sido escrito este problema la solucion se comporta como el pendulo fisico simple porque el pedulo esta unido al sistema de referencia de la masa M que se mueve a velocidad constante. En otras palabras, se mueve en un sistema inercial. $\Rightarrow$
$\ddot x_1 = 0$

por lo que tu ecuacion diferencial se reduce a:
$\displaystyle \ddot \alpha + \frac{g}{l} \sin \alpha =0$ la cual es exactamente la expresion obtenida para el pendulo fisico simple

[carroza]

Re: Ejercicio Euler-Lagrange

La masa M no se mueve con velocidad constante. Está sometido a la fuerza que ejerce sobre ella el péndulo.

De hecho, la masa M cabecea en contrafase con la masa m.

[polonio]

Re: Ejercicio Euler-Lagrange

Creo que lo más sencillo es aplicar los teoremas de consevación: tienes la lagrangiana, ¿no?.

Pues vemos que:

$\frac{\partial L}{\partial x_{1}}=0\rightarrow\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{x}_{1}}\right)=\frac{dp_{x_{1}}}{dt}=0\rightarrow p_{x_{1}}=cte.$
(conservación del momento generalizado para $x_1$: momento lineal en la dirección X, como ya te ha dicho Carroza)

El sistema es eclerónomo y $\frac{\partial L}{\partial t}=0$, así que se conserva $h=T+V$ (la energía mecánica).

De esta forma las ecuaciones diferenciales son de primer orden (¡vivan las integrales primeras! :P).

[Jose D. Escobedo]

Re: Ejercicio Euler-Lagrange

Mil disculpas y garcias polonio, carroza y aLFRe, me confundi con el enunciado del problema. Para mi hubiera sido mejor se le hubiera descrito como un pendulo atado a un soporte movible de masa M.