2o ciclo Ejercicio de energía 1

[jorgext]

Hola amigos, ojalá me pudieran ayudar con este problema:

La energía potencial de una partícula de masa $m$ esta dada por:

$U(x) = - \dfrac{U_0}{\cosh{\alpha x}^2}$

La energía total es $E<0$, dada estas condiciones, escribir el periodo de osculación de la partícula.

A partir de la ecuación de energía:

$E = \dfrac{m \dot{x}}{2} + U(x)$

Se obtiene el resultado:

$T=\dfrac{\pi}{\alpha}\sqrt{\dfrac{2 m}{-E}}$

Sin embargo, me queda demostrar que la ecuación de movimiento de esta partícula es:

$x(t) = \dfrac{1}{\alpha}\arcsin{(\sqrt{\dfrac{U_0+E}{-E}}\sin(\alpha\sqrt{\dfrac{-2E}{m}}t))}$

No se como comenzar a desarrollar esta última parte.

Saludos!

[Metaleer]

Re: Ejercicio de energía 1

Hola.

Si partes de

$\displaystyle E = \frac{1}{2}m\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + U(x),$

tienes que

$\displaystyle E - U(x) = \frac{1}{2}m\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 \Rightarrow \frac{2}{m}(E - U(x)) = \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 \Rightarrow \sqrt{\frac{2}{m}(E - U(x))} = \frac{dx}{dt} \Rightarrow dt = \frac{dx}{\sqrt{\frac{2}{m}(E - U(x))}} \Rightarrow \int dt = \int \frac{dx}{\sqrt{\frac{2}{m}(E - U(x))}} \Rightarrow t = \int \frac{dx}{\sqrt{\frac{2}{m}(E + \dfrac{U_0}{\cosh{\alpha x}^2})}}$

Intenta integrar eso, y despeja $x$ en función de $t$, si fuera posible.

EDIT:

Otra forma que se me ocurre es la siguiente:

Sabemos que

$\displaystyle \vec{F} = -\nabla U \Rightarrow F = -\frac{dU}{dx} = - U'(x)$

Por la segunda ley de Newton,

$\displaystyle -U'(x) = m \frac{d^2x}{dt^2} = m \frac{dv}{dt} = m \frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt} \Rightarrow -\frac{1}{m}U'(x) dx = v dv \Rightarrow -\frac{1}{m} \int U'(x) dx = \int v dv = \frac{v^2}{2} \Rightarrow \sqrt{-\frac{2}{m} \int U'(x) dx} = v(x)$

Como $\displaystyle v = \frac{dx}{dt}$ por definición, integras una vez más, y es otra manera de intentar solucionar el asunto.

Saludos.

[jorgext]

Re: Ejercicio de energía 1

Muchas gracias, lo desarrollaré y les cuento.