2o ciclo lagrangeano electromagnetico

[alejandrito29]

Hola. Me piden encontrar el Hamiltoneno de una partícula de masa m y carga e, en presencia de un campo electromagnético dado por el potencial escalar V y el potencial vectorial A.
[FONT=Times New Roman]Determinar el Hamiltoneano creo saberlo hacer, pero tengo algunas dudas sobre la física del problema:[/FONT]

[FONT=Times New Roman][FONT=Verdana]Yo se que el lagrangeano es :[/FONT][/FONT]
T+eAxv-qV...Ahí sugen mis primeras dudas

¿Por que razon la energía potencial es -eAxv+qV......Yo se que el campo magnético es B= rotor(A) , pero no encuentro una razon para determinar la energía potencial .

Mi profesor dijo que si B= (0,0,B) constante ,entonces no habría potencial escalar ....¿porque?.....

Dijo tambien que bajo esta última situación pasaba algo con unas órbitas...¿Alguien se le ocurre a que se refería?

¿influye en este problema la forma del campo eléctrico?

[Trollx]

Re: lagrangeano electromagnetico

Dada la Fuerza electromagnetica sobre una particula de carga $q<br />$

$\vec f = \dot{\vec p} = q\{\vec E + \vec v \times \vec B\}$

Donde podemos escribir el campo electrico y campo magnetico de la siguiente forma:

$\vec E = -\nabla V -\frac{\partial\vec A}{\partial t}$
$\vec B = \nabla\times\vec A$

donde $V$ es el potencial eléctrico y $\vec A$ es el potencial vectorial magnético, así reemplezando...

$\dot{\vec p} = q\{-\nabla V + \vec v \times\nabla\times\vec A\}$

utilizando la identidad
$\nabla (\vec a\cdot \vec b)=\vec a\times(\nabla\times\vec b)+\vec b\times(\nabla\times\vec a)+(\vec a\cdot\nabla)\vec b+(\vec b\cdot\nabla)\vec a$

$con\qquad\vec a = \vec v\qquad y\qquad\vec b = \vec A$

$\textrm{nos queda}\quad \nabla (\vec v\cdot \vec A)=\vec v\times(\nabla\times\vec A)+\vec A\times(\nabla\times\vec v)+(\vec v\cdot\nabla)\vec A+(\vec A\cdot\nabla)\vec v$

$\textrm{como la velocidad no depende de las coordenadas espaciales}$

$\quad\nabla\times\vec v=0\quad y\quad \nabla\vec v= 0$

$\textrm{asi}\quad\nabla(\vec v\cdot\vec A)=\vec v\times(\nabla\times\vec A)+(\vec v\cdot\nabla)\vec A$
$\Rightarrow\quad\vec v\times(\nabla\times\vec A)=\nabla(\vec v\cdot\vec A)-(\vec v\cdot\nabla)\vec A$

$\textrm{Rescribiendo} \quad\dot {\vec p}$

$\dot {\vec p}=q\big[-\nabla V-\frac{\partial\vec A}{\partial t}+\nabla(\vec v\cdot\vec A)-(\vec v\cdot\nabla)\vec A\big]$

$\dot {\vec p}=-\nabla\Big(qV-q\vec v\cdot\vec A\Big)-q\Big[\frac{\partial\vec A}{\partial t}+(\vec v\cdot\nabla)\vec A\Big]$

$\dot {\vec A}= \frac{\partial\vec A}{\partial t}+(\vec v\cdot\nabla)\vec A\quad y \quad U=qV-q\vec v\cdot\vec A$

$\Rightarrow\quad\vec F=\dot {\vec P}=\dot {\vec p}+q\dot {\vec A}=-\nabla U$
$\vec F\quad\textrm {es la fuerza generalizada}$
$\vec P\quad\textrm {es el momemtum del sistema}$
$\vec p\quad\textrm {es el momemtum de la particula}$
$q\vec A\quad\textrm {es el aporte del campo EM (teoria de gauge)}$

Creo que con eso queda respondida la primera pregunta

ahora que tenemos nuestro potencial, podemos construir nuestro lagrangiano y por ende nuestro hamiltoniano.

$L=T-U=\frac{m\vec v ^2}{2}-qV+q\vec v\cdot\vec A$

$\vec P=\frac{\partial L}{\partial\vec v}=m\vec v +q\vec A$
$\Rightarrow\quad \vec v = (\vec P-q\vec A)/m$

Donde nuestro Hamiltoniano queda escrito

$H=\vec P\cdot\vec v-L=\vec P\cdot\vec v -\frac{m\vec v ^2}{2}+qV-q(\vec v\cdot\vec A)$

$\quad =\frac{\vec P(\vec P -q\vec A)}{m} -\frac{(\vec P -q\vec A)^2}{2m}+qV-\frac{q(\vec P-q\vec A)\vec A}{m}$

Al final nos queda:

$H=\frac{1}{2m} (\vec P -q\vec A)^2 +qV$


si el campo magnetico es constante y existe en un solo eje, el movimiento es una helicoide en torno a a este eje, si es que mal no recuerdo