1r ciclo Modos normales

[woodyalex]

Bien intento averiguar los modos normales de vibracion de un pendulo doble cada uno con una masa m.
De esta forma obtengo unas frecuencias propias de oscilacion que son:
$w^2 = \frac{g}{l} (2+-\sqrt{2})$
El problema es que yo al resolver os modos normales esperaba obtener uno simetrico y otro antisimetrico, de la forma
modo1=Algo*(x+y)
modo2=Algo*(x-y) donde x e y serian los anglos que forman los pendulos con la vertical; pero no obtengo eso, así que quisiera saber si alguien puede decirme si mi suposicion inicial de que tengo que obtener un modo simetrico y antisimetrico es correcta .. yo estoy casi seguro al 100% pero como no obtengo eso por mucho que opero.. no se....ademas si alguien peude decirme como obtendria él los modos nomales para compararlo con mi forma y ver que hago mal seria de muchisima ayuda.MUCHAS GRACIAS
P.D: La manera en que yo los obtengo es la siguiente,
Calculo la relacion entre coordenada noormales resolviendo det(A-w²M)=0 para cada una de las dos frecuencias ,así consigo la matriz "a" (es decir obtengo la relacion entre sus coordenada a11=-a12,etc) , luego la normalizo mediante:
a(traspuesta)*M*a=I(Matriz identidad); por si no estaba claro M es la matriz de masas
Por ultimo simplemente resuelvo:
N(matriz de modos normales)=a*M*q(matriz de coordenadas generalizadas, en este caso dos angulos)
Para todos los problemas que hice me salen bien un modo simetrico y otro antisimetrico (masas unida a muelles, dos pendulos unidos mediante un muelle en sus extremos, etc, pero justo el de un pendulo unido a otro no)

[Jose D. Escobedo]

Re: Modos normales

Segun mis calculos la solucion ya la tienes.

$\displaystyle \omega_1^2 = \frac{g}{l} (2 + \sqrt{2})$ es la frecuencia para modo asimetrico. Con lo que me resulto que: $\displaystyle \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2} \beta$


$\begin{pmatrix} \alpha (t) \\ \beta (t) \end{pmatrix} = C_1 \begin{pmatrix} -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ 1 \end{pmatrix} \cos (\omega_1 t + \varphi_1)$


Y $\displaystyle \omega_2^2 = \frac{g}{l} ( 2 - \sqrt{2})$ para el modo simetrico. $\Rightarrow$
$\displaystyle \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \beta$


$\begin{pmatrix} \alpha (t) \\ \beta (t) \end{pmatrix} = C_2 \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} \\ 1 \end{pmatrix} \cos (\omega_2 t + \varphi_2)$

De ahi la solucion general es la superposicion de estos dos estados, y las constantes $C_1 , C_2 , \varphi_1 ,\varphi_2$ se determinan con las codiciones iniciales.

[woodyalex]

Re: Modos normales

Muchas gracias , pero que las frecuencias estaban bien ya me lo imaginaba, lo que mas me interesaba es si existia algun error en mi forma de calcular los modos ya que luego no me queda un modo simetrico y otro antisimetrico.De todas formas muchas gracias

[Jose D. Escobedo]

Re: Modos normales

The lagrangian is:

$\displaystyle L= \frac{1}{2} m l^2 \dot \alpha^2 + [\frac{1}{2} l^2 m \dot \alpha^2 + \frac{1}{2} m l^2 \dot \beta^2 + m l^2 \dot \alpha \dot \beta (\hat e_{\alpha} \cdot \hat e_{\beta} )]+ mgl \sin (\frac{3 \pi}{2} + \alpha) + mg [ l\sin(\frac{3 \pi}{2}+\alpha ) +l \sin (\frac{3 \pi}{2} + \beta)]$

como estan en el tercer cuadrante $\sin (\frac{3 \pi}{2} + \alpha)$ se transforma en $\cos \alpha$ , lo mismo para $\beta$

nota: para la particula 2 utilice []

Como se trata de angulos pequeños entonces $\cos \alpha \sim (1-\frac{\alpha^2}{2}), \cos \beta \sim (1-\frac{\beta^2}{2})$ y $(\hat e_{\alpha} \cdot \hat e_{\beta}) \sim 1$

De todo lo anterior me resulta un sistema de ecuaciones diferenciables

$\displaystyle 2 \ddot \alpha + \ddot \beta + \frac{2g}{l} \alpha = 0$...(1)

$\displaystyle \ddot \alpha +\ddot \beta + \frac{g}{l} \beta =0$...(2)

luego substituyendo $\ddot \alpha = -\omega^2 \alpha$ y $\ddot \beta = -\omega^2 \beta$ en (1) y (2) $\Rightarrow$

$\displaystyle -2\omega^2 \alpha -\omega^2 \beta +\frac{2g}{l} \alpha =0$...(1')

$\displaystyle -\omega^2 \alpha -\omega^2 \beta + \frac{g}{l} \beta =0$...(2')

de (1') y (2') se obtiene $\displaystyle \omega^4 - 4\frac{g}{l} \omega^2 + 2\frac{g^2}{l^2}=0$ que resulta en las frecuencias que ya fueron deducidas.

Sabiendo que una frecuencia es $\displaystyle \omega^2_1 = \frac{g}{l} (2 + \sqrt{2})$ esta se substituye en (1') o (2')

si lo trato en (2')

$-(2+\sqrt{2}) \alpha - (2+\sqrt{2}) \beta+ \beta =0$ porque $\frac{g}{l}$ es un factor comun $\Rightarrow$

$\alpha = -\frac{(1+ \sqrt{2})}{2 +\sqrt{2}} \beta$ si se multiplica el numerador y el denominador por $(2 - \sqrt{2})$ obtendre el mismo resultado que en el post #2

$\displaystyle \alpha = - \frac{\sqrt{2}}{2} \beta$ ahora la pregunta es cual es este modo, y la respuesta es el modo antisimetrico porque se a eligieron $\alpha$ y $\beta$ positivos o negativos, pero no uno positivo y el otro negativo, asi que el simbolo "$-$ "hace posicionarse estos dos vectores asimetricamente con respecto a la vertical.

por otro lado los vectores del post #2 $\begin{pmatrix} -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ 1 \end{pmatrix}$ y $\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2}\\ 1 \end{pmatrix}$ (can span the space) pueden cubrir el espacio a pesar de no ser de la forma $\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}$ y$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ y si no me cres woodyalex nada mas sumalos o restalos, luego multiplicalos por la constante necesaria.

Espero que esta vez se entienda un poco mas.

saludos

Jose