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[archamia]

Hola! Soy nueva en el foro y además, estoy bloqueada con un problema, a ver si alguien me desbloquea, seguro que es una tontería pero no lo veo. Alla va el problemilla: "cuando una alta chimenea se inclina y cae de lado, se quiebra (por debajo de la mitad) antes de llegar al suelo. ¿puede explicar por qué?" Le he dado mil vueltas, pero nada de lo que se me ocurre tiene sentido, no sé si tengo que contar con aplicar una fuerza para que se incline aunque no me lo diga el problema, o si es algo más sencillo y conceptual y no soy capaz de verlo; si tengo en cuenta que las fuerzas que intervienen son el peso, la normal y el rozamiento con el aire conforme va cayendo, no se me ocurre cómo deducir de esos datos por qué se quiebra antes de llegar al suelo y por qué lo hace por debajo de la mitad.

[Cris]

Re: Problema mecánica

Hey!

¿Dónde crees que es mayor la carga estática?

Saludos

[aLFRe]

Re: Problema mecánica

Alla va el problemilla: "cuando una alta chimenea se inclina y cae de lado, se quiebra (por debajo de la mitad) antes de llegar al suelo. ¿puede explicar por qué?" Le he dado mil vueltas, pero nada de lo que se me ocurre tiene sentido, no sé si tengo que contar con aplicar una fuerza para que se incline aunque no me lo diga el problema, o si es algo más sencillo y conceptual y no soy capaz de verlo; si tengo en cuenta que las fuerzas que intervienen son el peso, la normal y el rozamiento con el aire conforme va cayendo, no se me ocurre cómo deducir de esos datos por qué se quiebra antes de llegar al suelo y por qué lo hace por debajo de la mitad.

Puede haber muchas formas de responder a lo que se plantea.

En primer lugar me va a permitir que le diga algunas cosas sobre el equilibrio :

cuando Vd. pone un lápiz vertical - apoyado en la base -
sobre una mesa - y se mantiene, sobre todo si la base es plana -
está en una situación de equilibrio inestable
¿ por qué es inestable ?
Pues porque en esta configuración, el c.d.m. del lapiz está
por encima del punto de sustentación.
- si es homogéneo o tiene simetría y tiene una longitud L
el c.d.m. se puede suponer que está a L/2 -
Si Vd. lo mueve el lápiz acabará tumbado.

En el caso de un sólido se tiene equilibrio - estático - cuando al proyectar el peso
intersecta a la base sobre la que se apoya.

Si en esto está Vd. de acuerdo conmigo la pregunta sería
¿ porque el lápiz no se rompe y porque se rompe la chimenea ?
Pues la respuesta es... porque uno no puede y la otra sí.
Vd. ha estudiado el campo de velocidades de un sólido en rotación
y sabe que la velocidad tangencial es directamente proporcional al radio:
$v= \omega R$
El punto inferior - la base de la chimenea R= 0 - tiene velocidad cero
$v_0= \omega R= 0$

el punto C donde estaba el c.d.m antes de la rotura tiene velocidad
$v_c= \omega \frac{L}{2}$
y el punto superior P de la chimenea tiene velocidad
$v_o= \omega L$
¿ cómo cambia de magnitud de velocidad una partícula ?
Pues imprimiéndole una aceleración tangencial
y la forma que se transmite esta es a través de fuerzas tangenciales ( de cizalladura )
Llega un momento en el cual la argamasa que une los ladrillos
no puede transmitir esta y se rompe.

Un saludo.
AÑADIDO : Upss.

Hola! Soy nueva en el foro y además, estoy bloqueada con un problema, a ver si alguien me desbloquea, seguro que es una tontería pero no lo veo.

Bienvenida y HOH, HOH, HOH, Feliz Navidad

[archamia]

Re: Problema mecánica

Muchas gracias por su aclaración y, si me permite una pregunta, entonces ¿he de suponer que la rotura viene dada porque la aceleración tangencial en la parte alta de la chimenea es mayor que en la base? ¿y he de suponer entonces que la chimenea está rotando?

[aLFRe]

Re: Problema mecánica

Muchas gracias por su aclaración y, si me permite una pregunta, entonces ¿he de suponer que la rotura viene dada porque la aceleración tangencial en la parte alta de la chimenea es mayor que en la base? ¿y he de suponer entonces que la chimenea está rotando?

Empiezo por la segunda pregunta.
Yo describiría el movimiento de la chimenea como una rotación en torno
a su punto más bajo
- pero es mi idea... recuerde... lo importante es lo que Vd. piense
si no está de acuerdo conmigo no pasa nada -

Ahora voy a la primera
cuando la chimenea está en posición de reposo cada elemento tiene velocidad cero,
cuando la chimenea cae cada elemento tiene una velocidad que vale
$v=\omega R$
Contra mas lejos esté del punto inferior más velocidad tiene ¿ no ?
¿ Como cambia de módulo de velocidad una partícula ?
Pues aplicándole una aceleración tangencial...
que debe de soportarla la argamasa que une los ladrillos.

Saludos.

[aLFRe]

Re: Problema mecánica

AÑADIDO :

El razonamiento más simple viene en el artículo "The Falling chimney",
la primera referencia
y apunta en sentido contrario a lo que yo he dicho.
Imagina que reemplazas la chimenea por dos varillas de masa despreciable situadas una a continuación de la otra,
de longitud L/2 cada una y que en su punta tuviesen ensartada una masa m.
En resumen tendrías
una masa m situada a una distancia L/2
y otra masa m situada a una distancia L

El momento de inercia de la inferior - recuerda que ahora son sólo masas puntuales - con respecto al punto de abajo sería
$I_1= m (\frac{L}{2})^2$
y el de la superior
$I_2= m L^2$
por lo cual $I_2= 4 I_1$

Por el contrario los momentos con respecto al extremo en contacto con el suelo irían
para la masa inferior como
$M_1\approx m g\frac{L}{2}$
para la masa superior
$M_2 \approx m g L$
uso $\approx$ por no incluir la dependencia con respecto al ángulo $\theta$ que forma la dirección del peso
con el eje de cada varillas.
Si suponemos que las dos varillas mantienen el mismo ángulo $\theta$
$M_2= 2 M_1$

Puesto que $M=I\alpha$
$M_1= I_1 \alpha_1$
$M_2= I_2 \alpha_2$
y resulta que $\alpha_1= 2 \alpha_2$
La masa inferior adquiere más aceleración angular y se rompe.

Una deducción a partir de "Theory of the chimney breaking while falling" de Madsen vendría a ser esta :
Se ha dicho ya que se va a describir el movimiento de una chimenea
de altura L y masa M como una rotación pura en torno a su base
- el punto más bajo de ésta no se mueve -
puesto que en todo instante la chimenea se mueve en un plano
podemos emplear coordenadas cilíndrícas :
A. radial; sea el vector unitario de esta $\widehat{r}$
B. tangencial; sea el vector unitario de esta $\widehat{\theta}$
C. perpendicular al plano citado, sea el vector unitario de esta $\widehat{k}$
y que ese ángulo $\theta$ sería el que se aparta la chimenea de la vertical.

CASO 1. -
Si consideramos primero toda la chimenea, su centro de masas
- si la chimenea es homogénea, este estaría situado a una altura $\frac{L}{2}$-
sabemos que actúan las siguientes fuerzas :

1. su peso $\vec{P}$,
que en las direcciones usadas tendría las componentes -
$\vec{P}_r = - Mg\cos \theta \widehat{r}$
$\vec{P}_{\theta} = Mg\sin \theta \widehat{\theta}$

2. una fuerza ligadura responsable de que su base no se mueva $\vec{f}$,
que no conocemos y que tendría las componentes
$\vec{f}_r = f \cos \theta \widehat{r}$
$\vec{f}_{\theta}=f \sin \theta \widehat{\theta}$

Si se calculan los momentos de las fuerzas implicadas con respecto
al punto inferior - que no se mueve -
resulta la ecuación siguiente - el peso está aplicado en el c.d.m. -
$M_z= M g \frac{L}{2}\sin \theta$
El momento de inercia de la chimenea considerada como una varilla es
$I_z= \frac{1}{3}M L^2$
por lo cual si a la aceleración angular le llamas
$\ddot{\theta}=\frac{d^2\,\theta}{d\,t^2}$
y aplicas la ecuación fundamental de la Dinámica de Rotación
$I_z\ddot{\theta}=M_z$
obtienes una expresión para la aceleración angular en función de $\theta$
a saber
$\ddot{\theta}=\frac{3}{2L}g \sin \theta$
que con la ecuación de movimiento del c.d.m, recuerda que r = L/2

$m\ddot{\vec{r}}=\vec{P}+\vec{f}$
y considerando que la aceleración tiene dos componentes normal y radial
se aplican las leyes de Newton al movimiento del c.d.m. en la dirección tangencial

$\ddot{\vec{r}}=r\dot{\theta}^2\widehat{r}+r\ddot{\theta}\widehat{\theta}$
permite calcular la componente tangencial de la fuerza de reacción
$f_{\theta}= \frac{1}{4}M g \sin \theta$
y la aceleración tangencial para el c.d.m.
$\frac{L}{2}\ddot \theta ( x=\frac{L}{2}) =\frac{3}{4}mg\sin \theta$

Esto está en cualquier libro de Mecánica y Ondas de segundo curso de licenciatura,
pero se van a usar después algunas de las expresiones.

CASO 2.-
Hemos dicho que con palabras no sabíamos explicar
el porqué la rotura se produce por debajo de la posición de su centro de masas
- si la chimenea es homogénea, el c.d.m. estaría situado a una altura $\frac{L}{2}$-
y que dicha impotencia nos ponía nerviosos.

Para explicar esto, vamos a considerar un punto situado a una altura x
de la chimenea y vamos a considerar como interacciona el segmento de chimenea por encima de ese punto con el que está por debajo.

Si la chimenea es homogénea se puede suponer una densidad lineal de masa
$\frac{M}{L}$
por lo cual la masa del segmento que está por debajo será
$\frac{M}{L}x$
y por eso el c.d.m. de ese segmento estaría situado a una altura
$\frac{x}{2}$

Yo diría que ahora habría que considerar las siguientes fuerzas

1. su peso $\vec{P}$,
que en las direcciones usadas tendría las componentes -
$\vec{P}_r= - \frac{M}{L}x\cos \theta \widehat{r}$
$\vec{P}_{theta} = \frac{M}{L}x\sin \theta \widehat{\theta}$

2. una fuerza de ligadura responsable de que su base no se mueva $\vec{f}$,
que no conocemos y que tendría las componentes
$\vec{f}_r= f \cos \theta \widehat{r}$
$\vec{f}_{\theta}= f \sin \theta \widehat{\theta}$

3. Una reacción de la parte superior de la chimenea sobre la parte inferior
dirigida a lo largo de la dirección longitudinal de la chimenea $\vec{R}$

4. Una fuerza de cizalladura que está dirigida según la tangencial
y que llamamos $\vec{S}=S\widehat{\theta}$ y que es lo que ahora no conocemos.

5. Un par de fuerzas $\vec{f}$ y $-\vec{f}$ responsables
de crear un momento $m_z$ de torsión en torno al punto de rotura.
Si volvemos a hacer el mismo camino de antes
y se recuperan los valores para la fuerza de ligadura y la aceleración tangencial
sale algo así como que
$S=\frac{3}{4} mg ((\frac{x}{L})^2-\frac{4}{3}\frac{x}{L}+\frac{1}{3})\sin \theta)$

y ahora vamos a plantear de nuevo y aplicas la ecuación fundamental de la Dinámica de Rotación
pero vamos a hacer una suposición adicional y es que la chimenea se rompe en el punto x
por lo cual hay un giro de la parte superior en torno al punto x
y para que esto suceda debe de haber un par al que se llama $m_z$
bueno...
$I_z\ddot{\theta}= \frac{x}{2}\frac{M}{L}xg + S x + m_z$
y como otra vez
$I_z=\frac{1}{3}\frac{M}{L}x^3$
$m_z=-\frac{1}{4}mgL((\frac{x}{L})^3-2(\frac{x}{L})^2+\frac{x}{D})\sin \theta$

Obtener los máximos ( valores de x ) de ese par que es el que produce la rotura
pasar por ver donde se anula la primera derivada
$\frac{d\,m_z}{d\,x}=0$
creo que salía para x=L y x=L/3

En resumen el momento responsable de la rotura para por un máximo a L/3
que está por debajo de la mitad de la chimenea L/2
Todo esto salvo error.
Un saludo.


Referencias:

1. "The Falling chimney" por Arthur Taber Jones
publicado en 1946 en American Journal of Physics número 14, página 275 y ss.

2. "Falling chimney apparatus modification" por Albert A. Bartlett
publicado en octubre de 1975 en The Physics Teacher volumen 13, número 7, páginas 435 a 437

3. "Theory of the chimney breaking while falling" por Ernest L. Madsen
publicado en 1977 en American Journal of Physics número 45, páginas 182 a 184.

[archamia]

Re: Problema mecánica

Ok. Estaba intentando buscar algo que me explicara el por qué por debajo. Gracias