2o ciclo Cuestiones de ligaduras. Caso electromagnetico

[Entro]

Las ecuaciones de Maxwell se puede obtener aplicando un principio variacional basado en la lagrangiana (densidad lagrangiana para ser precisos):

$L_{EM}=-\frac{1}{4}\int d^3x F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$

El objeto $F_{\mu\nu}$ se construye a partir de una conexión U(1) que usualmente se denomina potencial electromagnético $A_\mu$.

$F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu -\partial_\nu A_\mu$

La teoría se construye invariante bajo a transformaciones U(1):

$A’_\mu=A_\mu+\partial_\mu \lambda$

donde $\lambda$ es una función que depende del punto espaciotemporal, es decir, trabajamos con transformaciones gauge locales, dependiente de punto.

¿Qué ocurre si intentamos un formalismo Hamiltoniano?

Usualmente tenemos que calcular los momento canónicamente conjugados a las variables de configuración, en este caso las componentes del potencial electromagnético.

$\pi^i=\frac{\partial L}{\partial (\partial_0A_i)}=F^{i 0}$ Para el caso de componentes espaciales, esas no son más que las componentes del campo eléctrico $E^i$.

En el caso del momento asociado a la componente temporal $A_0$ ocurre que:

$\frac{\partial L}{\partial (\partial_0A_0)}=0=\pi^0$

Este hecho, que el momento asociado a la componente temporal de la conexión (potencial electromagnético) se anule de manera natural se interpreta como una ligadura. Es decir, las soluciones de la teoría han de satisfacer $\pi^0=0$ (ojo, esta igualdad solo es válida en las soluciones de la teoría)

El Hamiltoniano entonces será:

$H=\int d^3 x(\pi^\mu \partial_0 A_\mu +\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu})$

$=\int d^3x (\pi^0\partial_0 A_0 + \pi^i\partial_0 A_i-\frac{1}{2}(F^{0i})^2+\frac{1}{4}F_{ij}F^{ij})$

Notemos que el primer término, que involucra la velocidad de la componente 0 del potencial electromagnético está condenado a anularse en las soluciones físicas, ya que en la definición del momento canónicamente conjugado a la componente temporal del potencial no involucra dicha velocidad. De hecho ha de anularse en las soluciones físicas. Esto hace que podamos entender $\pi^0$ como un multiplicador de Lagrange que nos asegura que la ligadura se va a satisfacer.

Si nos entretenemos en calcular la ecuación de movimiento para $\pi^0$ obtenemos:

$\partial_0 \pi_0=\partial_i \pi^i=\partial_i E^i$

Que se ha de anular en las soluciones físicas: $\partial_i E^i=\nabla \vec{E}=0$

Esto no es más que la ley de Gauss del electromagnetismo que en realidad es una ligadura sobre el comportamiento del campo electromagnético. (De hecho una ligadura de este tipo es heredada en todas las teorías gauge de Yang-Mills independientemente de su caracter abeliano o no abeliano).

Este es un ejemplo de como aparece una ligadura en el formalismo Hamiltoniano. Además esta ligadura es efecto de la libertad gauge de la teoría.

[jorgext]

Re: Cuestiones de ligaduras. Caso electromagnetico

Y precisamente estoy estudiando para mi examen de electromagnetismo. Muchas gracias.