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Tiempo de caída de una partícula (análisis dimensional)

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  • 1r ciclo Tiempo de caída de una partícula (análisis dimensional)

    Buenas tardes, me podríais ayudar con este ejercicio.

    Usando análisis dimensional, estimar las siguientes cantidades:

    A) El tiempo de caída de una partícula de masa m desde una altura l desde una altura de la superficie de la tierra, suponiendo conocida la aceleración de la gravedad g.

    B) El periodo orbital de un planeta. Debe depender de su masa, m , de G y de la distancia al sol D.

  • #2
    Re: Tiempo de caida de una particula

    Buenas.

    Para resolver el apartado a, tienes que utilizar la formula de M.R.U.A para caída libre



    donde

    y solo tienes que despejar el tiempo sabiendo que la posición final es cero. Esto queda



    Como ves en el tiempo no influye la masa del objeto, solo la altura inicial

    En cuanto al apartado b, tienes que usar la tercera ley de Kepler



    Espero haberte ayudado. Un saludo

    Comentario


    • #3
      Re: Tiempo de caida de una particula

      Aunque lo que has hecho es correcto, en el enunciado piden que se haga una estimación realizando análisis dimensional, es decir, en lugar de obtener las expresiones finales lo que se busca es realizar un análisis previo sin conocer las relaciones finales a partir de las relaciones dimensionales que existen entre las magnitudes derivadas y las fundamentales.

      Por ejemplo en el a) lo que se busca es determinar los coeficientes , y :

      Lo que sabemos es una gota de agua; lo que ignoramos es el océano.
      Isaac Newton

      Comentario


      • #4
        Re: Tiempo de caída de una partícula (análisis dimensional)

        Todos los ejercicios de análisis dimensional se plantean igual: la incógnita se supone proporcional a las variables elevadas a exponentes desconocidos

        A)

        Se sustituyen las variables por sus dimensiones, elevadas al exponente desconocido:



        La dimensión de una constante numérica es



        Se igualan exponentes





        Se resuelve el sistema de ecuaciones



        Se sustituyen los exponentes en la expresión inicial



        Se simplifica y este es el resultado del ejercicio:


        Que es correcto, ya que sabemos por cinemática del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado que la longitud recorrida es:



        Es decir, que

        B)

        Para hallar las dimensiones de la constante de Newton G, recurrimos a la ley de Gravitación Universal:





        Sustituyendo





        Se igualan exponentes







        Resolviendo el sistema de ecuaciones:



        Sustituyendo




        Atención: lo que se obtiene en este caso del análisis dimensional, es que el periodo de revolución puede ser proporcional a una distancia elevada a 3/2 e inversamente proporcional a la raíz cuadrada de una masa.

        Esto ya no nos lo puede decir el análisis dimensional: que en este caso suponiendo una órbita elíptica, D es el semieje mayor de la órbita y M es la suma de las masas del Planeta y el Sol. El enunciado dice "... hallar ... el periodo orbital de un planeta. Debe depender de su masa, m ..." Si en la expresión (1) pensásemos que M es solo la masa del planeta, cometeríamos un grave error. El análisis dimensional nos llevará a resultados correctos si al hacer el planteamiento no nos hemos dejado ningún parámetro, en este caso el enunciado se ha olvidado de la masa del Sol.

        Recordar finalmente que la 3ª ley de Kepler dice:



        En donde D es el semieje mayor de la órbita elíptica mientras y son las masas del Sol y del Planeta.

        Saludos.
        Última edición por Alriga; 11/02/2019, 08:59:13. Motivo: Ortografía
        "Das ist nicht nur nicht richtig, es ist nicht einmal falsch! "

        Comentario


        • #5
          Re: Tiempo de caída de una partícula (análisis dimensional)

          Muchas gracias, me ha servido de gran utilidad para entender el ejercicio.

          Comentario

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