1r ciclo Tiempo de caída de una partícula (análisis dimensional)

[jssln]

Buenas tardes, me podríais ayudar con este ejercicio.

Usando análisis dimensional, estimar las siguientes cantidades:

A) El tiempo de caída de una partícula de masa m desde una altura l desde una altura de la superficie de la tierra, suponiendo conocida la aceleración de la gravedad g.

B) El periodo orbital de un planeta. Debe depender de su masa, m , de G y de la distancia al sol D.

[AlexFeynman]

Re: Tiempo de caida de una particula

Buenas.

Para resolver el apartado a, tienes que utilizar la formula de M.R.U.A para caída libre

$y = {y}_{ 0} + {v}_{0 }t - \frac{1}{2 }gt^2$

donde ${v}_{0 } = 0$

y solo tienes que despejar el tiempo sabiendo que la posición final es cero. Esto queda

$t = \sqrt{\frac{2{y}_{ 0}}{g }}$

Como ves en el tiempo no influye la masa del objeto, solo la altura inicial ${y}_{ 0} = l$

En cuanto al apartado b, tienes que usar la tercera ley de Kepler

$\frac{T^2}{ D^3} = \frac{4\pi^2}{ Gm}$

Espero haberte ayudado. Un saludo

[Ulises7]

Re: Tiempo de caida de una particula

Aunque lo que has hecho es correcto, en el enunciado piden que se haga una estimación realizando análisis dimensional, es decir, en lugar de obtener las expresiones finales lo que se busca es realizar un análisis previo sin conocer las relaciones finales a partir de las relaciones dimensionales que existen entre las magnitudes derivadas y las fundamentales.

Por ejemplo en el a) lo que se busca es determinar los coeficientes $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$:

$t \propto g^{\alpha}m^{\beta} l^{\gamma}$

[Alriga]

Re: Tiempo de caída de una partícula (análisis dimensional)

Todos los ejercicios de análisis dimensional se plantean igual: la incógnita se supone proporcional a las variables elevadas a exponentes desconocidos

Usando análisis dimensional, estimar las siguientes cantidades:

A) El tiempo de caída de una partícula de masa m desde una altura l desde una altura de la superficie de la tierra, suponiendo conocida la aceleración de la gravedad g

A) $t=K \ l^a \ g^b \ m^c$

Se sustituyen las variables por sus dimensiones, elevadas al exponente desconocido:

$[t]=T \qquad [l]=L \qquad [g]=\dfrac L{T^2}=L T^{-2} \qquad [m]=M$

La dimensión de una constante numérica es $[K]=M^0 L^0 T^0= 1$

$T=L^a \big ( L T^{-2} \big )^b M^c= L^{a+b}T^{-2b} M^c$

Se igualan exponentes

$1=-2b$

$0=a+b$

$0=c$

Se resuelve el sistema de ecuaciones

$b=-1/2 \qquad a=1/2$

Se sustituyen los exponentes en la expresión inicial

$t=K \ l^{1/2} \ g^{-1/2}$

Se simplifica y este es el resultado del ejercicio:

$$t=K\sqrt{\dfrac l g}$$

Que es correcto, ya que sabemos por cinemática del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado que la longitud recorrida es:

$l=\dfrac 1 2 g t^2 \qquad \Longrightarrow \qquad t=\sqrt{\dfrac{2 l} g}$

Es decir, que $K=\sqrt 2$

Usando análisis dimensional, estimar las siguientes cantidades:

B) El periodo orbital de un planeta. Debe depender de su masa, m , de G y de la distancia al sol D.

B) $t=K G^a M^b D^c$

Para hallar las dimensiones de la constante de Newton G, recurrimos a la ley de Gravitación Universal:

$F=G\dfrac{m_1 m_2}{D^2}$

$[G]=\dfrac{[F][D]^2}{[m]^2}=[m\cdot a]L^2 M^{-2}=MLT^{-2}L^2 M^{-2}=M^{-1} L^3 T^{-2}$

Sustituyendo

$T=\big (M^{-1}L^3 T^{-2}\big )^a M^b L^c$

$T= M^{-a+b} L^{3a+c} T^{-2a}$

Se igualan exponentes

$1=-2a$

$0=-a+b$

$0=3a+c$

Resolviendo el sistema de ecuaciones:

$a=-1/2 \qquad b=-1/2 \qquad c=3/2$

Sustituyendo

$t=K G^{-1/2} M^{-1/2} D^{3/2}$

$$t=K \sqrt{\dfrac{D^3}{G M}}$$

Atención: lo que se obtiene en este caso del análisis dimensional, es que el periodo de revolución puede ser proporcional a una distancia elevada a 3/2 e inversamente proporcional a la raíz cuadrada de una masa.

Esto ya no nos lo puede decir el análisis dimensional: que en este caso suponiendo una órbita elíptica, D es el semieje mayor de la órbita y M es la suma de las masas del Planeta y el Sol. El enunciado dice

"... hallar ... el periodo orbital de un planeta. Debe depender de su masa, m ..."

Si en la expresión (1) pensásemos que M es solo la masa del planeta, cometeríamos un grave error. El análisis dimensional nos llevará a resultados correctos si al hacer el planteamiento no nos hemos dejado ningún parámetro, en este caso el enunciado se ha olvidado de la masa del Sol.

Recordar finalmente que la 3ª ley de Kepler dice:

$t=2 \pi \sqrt{\dfrac{D^3}{G (m_1+m_2)}}$

En donde D es el semieje mayor de la órbita elíptica mientras $m_1$ y $m_2$ son las masas del Sol y del Planeta.

Saludos.

[jssln]

Re: Tiempo de caída de una partícula (análisis dimensional)

Muchas gracias, me ha servido de gran utilidad para entender el ejercicio.