Olimpiada Energía cinética en función del tiempo en el MAS

[Sheldoniano]

Buenas, vuelvo a pediros una ayudita con el MAS. El ejercicio dice así:

Una partícula de masa m=10g oscila armónicamente en torno al eje OX, con una frecuencia de 5Hz y amplitud de 5cm.
a)Calcula la velocidad de a partícula cuando pasa por el origen.
b) Determina y representa la energía cinética en función del tiempo si en t=0, x=0.

El apartado a es para aficionados como diría un profesor mío.
$v=\omega \sqrt{A^2-x^2}=\omega A=2\pi f A= 2\pi 5 \cdot{}5\cdot{}10^{-2}=1,57Hz$

En el apartado b me viene el problema, os pongo mi desarrollo y lo que debería salir:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] $0,5\cdot{}0,1\cdot{}(2\pi \cdot{}5\cdot{}5\cdot{}10^-2\cdot{} cos(2\pi \cdot{}5\cdot{}10^-2\cdot{} t+\frac{\pi }{2}))^2$ y ya me pongo a desarrollar la identidad notable pero me da un bicho curioso por lo que intuyo que está mal. Me debería dar: $E_C=1,23\cdot{}10^-2 cos^2(10\pi t) J$

Alguna idea? Espero no haberme equivocado en el tipeo, si así lo he hecho avisadme y lo modifico

[angel relativamente]

Re: Energía cinética en función del tiempo en el MAS

Hola Sheldoniano, creo tener una idea.

Lo primero que tienes que fijarte es eso de si en t=0 , x=0

Planteas la ecuación de la posición en función del tiempo (puesto que te dan la solución con un coseno, lo haré con el coseno, pero si lo haces con el seno sería perfectamente válido):

$$x=A\cos \left(wt+\Phi_0 \right)$$

Sustituyendo los valores que te dan:

$$0=A\cos \left(\Phi_0 \right)$$

De donde obtienes que:

$$\cos \Phi_0=0 \quad \Rightarrow \quad \Phi_0=0$$

Vemos que con el coseno era muy simple pues nos eliminamos la fase inicial. Una vez sabido esto, planteamos que la ecuación de velocidad es:

$$v=A\omega \cos (wt)$$

Como en el enunciado te dan frecuencia ($\nu$) (se utiliza más esa letra que la f), la dejamos en función de la frecuencia:

$$v=2\pi \nu A \cos (2\pi \nu t)$$

Al sustituirla en la ecuación de la energía cinética queda:

$$E_c=\dfrac 12 mv^2 \quad \Rightarrow \quad \boxed{E_c= 2m \pi^2 \nu^2 A^2 \cos^2 (2\pi \nu t)}$$

Sustituye los valores que tienes y queda la solución que indicas (tampoco es un cuadrado tan feo). Ah, y pásalo todo al SI, que 0.1 no es la masa que te dan en sistema internacional

¡Saludos!

Ángel

[Sheldoniano]

Re: Energía cinética en función del tiempo en el MAS

Gracias Ángel!

[arivasm]

Re: Energía cinética en función del tiempo en el MAS

Tengo una propuesta: usemos que $\cos 2 x = \cos^2 x-\sin^2 x =2 \cos^2 x -1$, es decir, que $\cos^2 x=\frac{1}{2}\left(1 + \cos 2x \right)$. De este modo, la ecuación (6) de Ángel puede escribirse

$E_c= m \pi^2 \nu^2 A^2 \left[ 1 + \cos (4\pi \nu t) \right]$

lo que me permite ver que la energía cinética también varía armónicamente, pero con frecuencia doble de la del oscilador.

Añado: Por cierto que es interesante apreciar que la amplitud de la oscilación de la energía cinética es la mitad de energía del oscilador, $\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}m (2 \pi \nu)^2 A^2\right]$

Saludos, amigos!

[hennin]

Re: Energía cinética en función del tiempo en el MAS

Angel tu ecuación (3) está mal

[angel relativamente]

Re: Energía cinética en función del tiempo en el MAS

Toda la razón Hennin, siento el error.

Lo cómodo sería escribir la ecuación de la posición en función del seno (así al derivarla para sacar la velocidad quedaría en función del coseno). En tal caso:

$$x=A\sin\left(wt+\Phi_0 \right)$$

$$0=A\sin \left(\Phi_0 \right)$$

$$\sin \Phi_0=0 \quad \Rightarrow \quad \Phi_0=0<br />$$

Entonces te queda que la ecuación de la posición en función del tiempo es:

$$x=A\sin(wt)$$

Que derivando en función del tiempo para obtener la velocidad:

$$v=Aw \cos (wt)$$

Y ahora a seguir a partir de la ecuación 4 de mi anterior mensaje

¡Saludos!