1r ciclo Esfuerzo extraordiario en demostraciones matemáticas

[Ishtar0]

Hola, buenos días. Quisiera saber si soléis tener bastantes problemas a la hora de seguir demostraciones matemáticas un poco largas.

Yo ahora estoy estudiando álgebra lineal por mi cuenta, con un libro y sin ayuda de ningún profesor. Me costó varios días entender ciertas demostraciones, como la propiedad de ser el determinante una aplicación multilineal alternada (casi se me viene el ánimo abajo tratando de encajar cada índice de la sopa de símbolos) y el método para reducir a la forma de Jordan una matriz nilpotente. Tras una perseverancia inaudita, he resuelto la cuestión dividiendo esas demostraciones en varias partes y escribiendo muchas notas en el libro, si no me pierdo a la hora de repasarlas.

¿Cómo hacéis vosotros para entender todas esas cuestiones de álgebra lineal?. ¿También los que estudiáis física os cuesta mucho eso?. ¿Ponen demostraciones largas en los exámenes de matemáticas?.

Quisiera, de camino, que me digáis si existe algún problema de física en que haya que obtener una forma de Jordan de una matriz no diagonalizable, u operar con espacios y bases duales, ya que mis conocimientos de física no pasan de cou y nunca me he encontrado con eso en física. Tengo mucha curiosidad.

Y los químicos, ¿usan también esos objetos matemáticos?.

Gracias por vuestra atención.

[Rodri]

Re: Esfuerzo extraordiario en demostraciones matemáticas

Por el contenido de tu mensaje intuyo que estás estudiando Ciencias Matemáticas en la universidad ¿es así?

Yo he estudiado Ingeniería y Físicas y mi experiencia con el Algebra Lineal es que en el primer año sí se estudiaba a un nivel muy, muy abstracto (los aspirantes a ingenieros alucinábamos y nos preguntábamos para qué servía todo eso). A mí, que me gustan las matemáticas "teóricas", no me importaba y me parecía bonito e interesante esa "gimnasia mental" que suponen las demostraciones. Con el tiempo se adquiere "visión" y soltura y es como todo, cuestión de entrenamiento. Si estoy en lo cierto y estudias la carrera de Matemáticas estoy seguro que adquirirás ese entrenamiento con el tiempo. Es cuestión de práctica. Mi consejo es que alternes esas demostraciones engorrosas con notaciones llenas de subíndices con otras más sencillas para no desanimarte.

Quisiera, de camino, que me digáis si existe algún problema de física en que haya que obtener una forma de Jordan de una matriz no diagonalizable, u operar con espacios y bases duales, ya que mis conocimientos de física no pasan de cou y nunca me he encontrado con eso en física. Tengo mucha curiosidad.

El Álgebra Lineal es una herramienta fundamental en Física en general. Ejemplos:

- En Dinámica del sólido rígido tenemos el concepto de tensor de inercia, que es una matriz, que relaciona el vector momento angular con el vector velocidad angular. Como es una matriz simétrica siempre, sabemos que es diagonalizable con el cambio de base (ejes coordenados del sistema de referencia) adecuado. Así se obtienen los llamados "ejes principales" del sólido, para los que el tensor de inercia es una matriz diagonal. Esos ejes son los que permiten que el cuerpo rote con el momento angular paralelo a la velocidad angular, de forma que no se ejercen esfuerzos sobre el eje, lo cual tiene gran importancia en ingeniería mecánica.

- En muchas ramas de la Física también, por ejemplo en el estudio de los osciladores armónicos acoplados, aparece la llamada "ecuación secular", que se resuelve mediante la solución de un problema de autovalores de una matriz. Dichos autovalores nos dan las posibles frecuencias (modos normales) de oscilación que pueden superponerse.

- En Física Cuántica, se desarrolla todo un formalismo matemático muy abstracto para representar los estados físicos de los sistemas mediante un espacio lineal de dimensión infinita (espacio de Hilbert, cuyos elementos llamamos "kets"). También se define su espacio dual (el de los "bras") En ellos se define un producto escalar (bra|ket). Los conceptos de autovalos y autovector (autoestados) son fundamentales aquí, ya que cualquier magnitud física observable se asocia a un operador lineal en ese espacio, de forma que los únicos valores posibles de un observable son precisamente los autovalores de dicho operador. Además, una vez hecha la medida, el estado físico del sistema es un "autoestado"(autovector) asociado a ese autovalor.

- En teoría de circuitos eléctricos lineales, una red de dos puertas puede representarse matemáticamente con una matriz de forma que podemos definir matrices de impedancias, admitancias funciones de transferencia, etc. lo cual sistematiza y simplifica de forma muy elegante los cálculos.

- Y me dejo muchísimos ejemplos en el tintero...

Ánimo

Rodri

[Ishtar0]

Re: Esfuerzo extraordiario en demostraciones matemáticas

Hola, Rodri. Voy a responderte.

"Por el contenido de tu mensaje intuyo que estás estudiando Ciencias Matemáticas en la universidad ¿es así?".

Ahora mismo, estoy estudiando álgebra lineal por mi cuenta, sin estar matriculado. Lo estuve hace unos años en la UNED, pero me desanimé por culpa de que no entendía el libro de Álgebra Lineal I de la bibliografía básica. No obstante, he estado desde entonces practicando con otros libros, empezando con el Larson, para acostumbrarme a manejar intuitivamente las matrices y los espacios vectoriales. Tras un tiempo con el Larson, me pareció demasiado fácil, y ahora estoy con el libro de Álgebra Lineal de Jesús Rojo.

La verdad es que lo que me cuesta esfuerzo es mencionado expresamene por el autor del libro como teoría que implica especial dificultad. Menos mal que después de las matrices de Jordan no aparece ninguna mención expresa a dificultad.

Lo que sí noto es que, a diferencia del análisis matemático, el contenido de álgebra lineal sólo suele durar un curso y que son temas fijos. Una vez aprendidos, no aparece ya ninguna otra asignatura de álgebra lineal, ni siquiera en el grado de matemáticas.

"Yo he estudiado Ingeniería y Físicas y mi experiencia con el Algebra Lineal es que en el primer año sí se estudiaba a un nivel muy, muy abstracto." Yo la dificultad que encuentro no es por abstracción, sino por notación y procedimientos farragosos. En cuanto a abstracción, es sólo al principio, pero después esa abstracción se viene abajo al ser los espacios vectoriales de dimensión finita isomorfos a {K}^{n}, y al ser el anillo de los endomorfismos lineales isomorfo al anillo de las matrices cuadradas.

Ni siquiera el espacio vectorial cociente me resulta extraño, ya que el subgrupo aditivo de los vectores resulta ser normal por ser conmutativo. Espero ver en Teoría de Grupos subgrupos que no sean normales.

"En Dinámica del sólido rígido tenemos el concepto de tensor de inercia, que es una matriz". En el programa de álgebra lineal de la UNED del grado de matemáticas no aparecen los tensores, ya que son un tema más avanzado. Pero yo esperaba que fueran más complicados que una simple matriz, ya que son formas n-lineales (aunque pueden ser 1-lineales).

"Como es una matriz simétrica siempre, sabemos que es diagonalizable con el cambio de base (ejes coordenados del sistema de referencia) adecuado." Gracias, pero yo esperaba que me pusieras un ejemplo de aplicación del método de Jordan para una matriz no diagonalizable. ¿No existen matrices no diagonalizables en física a las que haya que calcular la forma de Jordan con unos en la subdiagonal superior en los bloques diagonales?.

"En Física Cuántica, se desarrolla todo un formalismo matemático muy abstracto para representar los estados físicos de los sistemas mediante un espacio lineal de dimensión infinita (espacio de Hilbert, cuyos elementos llamamos "kets")." Eso se estudia en el cuarto curso, espero llegar a ello.

"...espacio de Hilbert, cuyos elementos llamamos "kets"). También se define su espacio dual (el de los "bras") En ellos se define un producto escalar (bra|ket)." ¿Es un producto escalar euclidiano, o tiene pesos en algún sumando de la expresión del producto escalar?. Si el producto escalar es euclidiano, debe tratarse entonces del elemento del cuerpo K dado por la imagen del ket dada por la aplicación bra.

Aparte de todo eso, yo pregunté: "Y los químicos, ¿usan también esos objetos matemáticos?", ya que me gusta mucho la química, y espero no tropezar con nada si leo algún libro de química física o de otras ramas de la química. Espero que si no sabes nada de aplicaciones matemáticas en química, algún químico me responda.

De todas formas, gracias por tus ánimos y las aplicaciones que me has mostrado.

[Rodri]

Re: Esfuerzo extraordiario en demostraciones matemáticas

Tiene mucho mérito estudiar la Matemática con la profundidad que demuestras sin estar matriculado en la universidad.
Lo cierto es que las dudas que planteas son muy específicas y yo te remitiría al estudio de esos temas concretos, para los que existe una bibliografía que seguro puedes obtener simplemente consultando los programas de asignaturas de cualquier universidad colgados en internet.
Ahora mismo no recuerdo un ejemplo de matrices no diagonalizables en Física, que requieran la forma canónica de Jordan, pero seguro que existen. Los compañeros del foro más avanzados te podrán dar más detalles, así como de las demás dudas concretas.

Yo solo pretendía darte una visión panorámica de la utilidad real en las ciencias y la ingeniería del Álgebra Lineal, más allá de que es una parte de las matemáticas muy elegante y "bonita" en sí misma (al menos en mi opinión).

Un saludo