Secundaria Calcular la cantidad de pelotas que caben en una piscina de bolas.

[Tina]

hola a todos/as,

Me gustaria poder saber cuantas pelotas de 6cm de diàmetro me cabrían en una estructura rectangular de 229x160x43cm. Gracias!!

[gdonoso94]

Re: Calcular la cantidad de pelotas que caben en una piscina de bolas.

Halla el volumen de la piscina, halla el volumen de una pelota. Divide el volumen de la piscina entre el volumen de la pelota. Obtendrás el número de pelotas.

Saludos.

[angel relativamente]

Re: Calcular la cantidad de pelotas que caben en una piscina de bolas.

Halla el volumen de la piscina, halla el volumen de una pelota. Divide el volumen de la piscina entre el volumen de la pelota. Obtendrás el número de pelotas.

Saludos.

En realidad, obtendrías una cota superior de pelotas, ya que dejan muchos huecos vacíos y no pequeños. No se me ocurre cómo se podría sacar el número exacto, quizá considerando que las pelotas son cubos de arista 6cm tendrías una cota inferior y ya tienes acotado el número de pelotas. Luego, si la diferencia no es muy grande, puedes hacer una aproximación.

Un saludo

PD: Si es un problema que te han puesto en una clase de secundaria, quizá con la respuesta de gdonoso se queden contentos, pero no está de más hacer la aclaración.

[jinawee]

Re: Calcular la cantidad de pelotas que caben en una piscina de bolas.

Siendo realistas, habría que tener en cuenta lo que dijo "ángel relativamente" y saber la distribución exacta de las pelotas. Aunque está claro que no te lo van ha pedir, pues los problemas de empaquetamiento (http://es.wikipedia.org/wiki/Empaquetamiento_de_esferas) son extremadamente complicados. Para una distribución aleatoria, tendrías que multiplicar aproximadamente por 0.6.

[gdonoso94]

Re: Calcular la cantidad de pelotas que caben en una piscina de bolas.

¿Para qué ponemos el prefijo en los mensajes entonces? Si quisiera rigor digo yo que habría puesto 1er o 2º ciclo... No sé, llamadme loco.

Además, creo que es obvio que, ya que todos hemos juntado 3 pelotas, queda un hueco en medio y por tanto no es exacto.

[arivasm]

Re: Calcular la cantidad de pelotas que caben en una piscina de bolas.

Si no me equivoco, en el empaquetamiento óptimo cada cuatro pelotras trazan un tetraedro regular de arista el diámetro de una pelota. Otra manera de verlo es que definen una red hexagonal compacta. Como en una celda unidad de tales redes hay 6 pelotas y el volumen de cada celda es $24\sqrt{2}R^3$ cada pelota ocupa un volumen efectivo $4\sqrt{2}R^3$.

[visitante20160513]

Re: Calcular la cantidad de pelotas que caben en una piscina de bolas.

Suponiendo, lo cual es mucho suponer, que las pelotas entran de forma ordenada y por capas, de forma que en la primera capa se ajustan perfectamente a la base rectangular y en la segunda capa se colocan en los huecos que dejan las primeras no resulta difícil realizar un cálculo aproximado ya que en la segunda tiene una pelota menos por cada lado que la primera, es decir si la primera capa contiene mxn pelotas la segunda tendría (m-1)x(n-1). Podemos calcular en esta forma el número de capas que cabrían. Basta ahora hacer los números, aunque esto es tan solo un cálculo aproximado porque hay que tener en cuenta que si el diámetro de las pelotas no ajusta bien en la base rectangular entonces hay un espacio mayor entre cada dos pelotas lo que hace que la altura de las dos primeras capas disminuya. El problema real es lo suficientemente complejo como para que no pueda darse una solución razonada. Como bien ha dicho jinawee los problemas de empaquetamiento son muy complejos y de muy diversa índole, pueden hacer con esferas de varios tamaños, o con cajas de diversos tamaños, etc.

Una solución sencilla pasa por suponer que una pelota cabe en un cubo de 6 cm de lado cuyo volumen es $6^3$ Para calcular cuantos cubos como ese caben en la piscina basta dividir las dimensiones de la piscina por las dimensiones del cubo en la forma:

$n=\displaystyle{\left[\frac{229}{6}\right]\times\left[\ent\frac{60}{6}\right]\times\left[\ent\frac{43}{6}\right]}=38\times 10\times 7=2660$

aunque probablemente si se dejan caer de forma aleatoria o se coloquen de forma ordenada entren bastantes más.

Haciendo lo que decía godonoso en su primer mensaje se obtienen:

$n=\displaystyle{\frac{3\times229\times 60\times 43}{4\pi 27}=5226$

El primer valor puede considerarse una cota inferior y el segundo una cota superior.

Salu2, Jabato.

[arivasm]

Re: Calcular la cantidad de pelotas que caben en una piscina de bolas.

Creo que ésa es la cota inferior y que la superior sería, por lo que puse en mi post, el valor que pone Jabato multiplicado por $\sqrt{2}$, es decir, 3760.

De todos modos, el enunciado de Tina dice "estructura rectangular", de manera que parece que se trataría de una red cúbica simple, de modo que la respuesta buscada serían esas 2660.

Por tanto, lo del rango 2660-3760 correspondería a complicar por nuestra cuenta el ejercicio.