Secundaria Duda sobre demostración de sumatorias

[Sac100]

Buenas noches con todos hoy eh estado en el colegio y me eh quedado con la intriga de como resolver este ejercicio que no eh podido hacer quisiera saber como hacerlo así que les agradecería si me pueden ayudar, el ejercicio era el siguiente:
con i= es par y j= es impar

muchas gracias de antemano a las personas que puedan responder mi duda.

[Jose D. Escobedo]

Re: Duda sobre demostración de sumatorias

Aplica que:

$(1+x)^n = \dst\sum_{i = 0}^n\begin{pmatrix} n \\ i\end{pmatrix} x^i$

Luego haciendo $x = -1 \Rightarrow$

$(1+ (-1))^n = 0^n = 0 = \dst\sum_{i = 0}^n \begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix} (- 1)^i$

Despues etiqueta y separa los $i$ como pares y los $j$ como nones $\Rightarrow$

$\dst\sum_{i = 0}^n \begin{pmatrix} n \\ i\end{pmatrix} - \dst\sum_{j= 1}^n \begin{pmatrix} n \\ j \end{pmatrix}= 0$ porque $(-1)^i =1$ para los $i's$ pares y $(-1)^j = -1$ para los $j's$ nones.

Termina .....

Saludos