El problema de la atracción y repulsión

[JARC]

Queridos amigos amantes de la física. Hace algún tiempo se me ocurrió un problema aparentemente sencillo pero que aún no he resuelto.
Un profesor de física tiene dos alumnos muy buenos a los que plantea el siguiente problema para saber quién es el mejor: un investigador experimental tiene dos masas que se atraen de forma directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de sus distancias. Entonces les coloca unos ingeniosos muelles de forma que se repelan de manera igualmente directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional a la cuarta potencia de sus distancias. ¿Cual es la distancia a la que las fuerzas son iguales?
Los dos alumnos responden rápidamente, pero cada uno da una respuesta diferente y el profesor no sabe cual es la correcta.
¿Me podéis decir cual es esa distancia?
Muchas gracias: Juan Antonio de la Rica

[JCB]

Hola a tod@s.

No sé si puede ser algo tan sencillo como $d=\sqrt{\dfrac{k_r}{k_a}}$, siendo $k_r$ la constante de repulsión, y $k_a$ la constante de atracción.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Yo llego a algo similar pero con las constantes invertidas quizá se deba a un gazapo al escribir mentalmente la idea

Fuerza de repulsión

$F_r=K_r\dfrac{m_1m_2}{d^4}$

Fuerza de atracción

$F_a=K_a\dfrac{m_1m_2}{d^2}$

cuando las fuerzas son iguales

$K_r\dfrac{m_1m_2}{d^4}=K_a\dfrac{m_1m_2}{d^2}$

$K_a=\dfrac{K_r}{d^2}$

$\boxed{d=\sqrt{\dfrac{K_r}{K_a}}}$

Corregido Gracias @JCB

Saludos

[javisot20]

Supongamos que el producto de las masas es =1 por simplificar, entonces tenemos 2 masas que,

- se atraen tal que 1/d^2

-se alejan tal que 1/d^4

Ganando la atracción a la repulsión, entonces en d=0 deben ser iguales.


Además, suponiendo que el experimento parte con las masas separadas una distancia infinita también deben ser iguales en d=∞




(Pregunté si en d=1 son iguales pero entiendo que al no poner unidades está mal.......
a 1 m son iguales pero no a 100 cm, perdón )

[Richard R Richard]

Supongamos que el producto de las masas es =1 por simplificar, entonces tenemos 2 masas que,

- se atraen tal que 1/d^2

-se alejan tal que 1/d^4

Ganando la atracción a la repulsión, entonces en d=0 deben ser iguales.


Además, suponiendo que el experimento parte con las masas separadas una distancia infinita también deben ser iguales en d=∞




(Pregunté si en d=1 son iguales pero entiendo que al no poner unidades está mal.......
a 1 m son iguales pero no a 100 cm, perdón )

Hola javisot20 fijate que tu suposición $1/d^2$ o $1/d^4$ implica que $K_a=1$ y $K_r=1$ por lo que $d$ calculado con la formula aportada seria $1$ en la unidades que le hayas aportado a $K_a$ y $K_r$,

fijate que las unidades de las constantes $K_a$ y $K_r$ son distintas para que la igualdad de fuerzas sea consistente dimensionalmente, por lo tanto no importa en que unidades se escriba $d$, el valor de $K_a$ y $K_r$ deberá escribirse en las unidades necesarias que te compensen las unidades de fuerza, sea metro o centímetro las unidades de Ka son $L^-2$ y las de Kr esteraran en $L^-4$ las expreses en metro o centímetros, d resultara ser la misma sea la que fuera medida en la unidad que quieras.

[javisot20]

Supuse kr=ka independientemente del valor exacto
( diferente de 0 o infinito) y de sus unidades,
entonces pensé que podía despreciar k....mal hecho..

gracias Richard.

[JCB]

... / ....
un investigador experimental tiene dos masas que se atraen de forma directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de sus distancias. Entonces les coloca unos ingeniosos muelles de forma que se repelen de manera igualmente directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional a la cuarta potencia de sus distancias.
... / ...

Hola a tod@s.

Richard R Richard, si corriges un pequeño gazapo en tu mensaje # 3, llegarás a la misma expresión que la que escribí en el mensaje # 2.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

ah! pero que vivaracho, yo marcandote el gazapo cuando es mio , gracias , Saludos