1r ciclo ¿Cuánto tarda un fotón en salir del Sol?

[sater]

El otro día me acordé del fantabuloso dato de que la luz que se crea en el centro de nuestro astro tarda entre 100000 y 1000000 de años en salir de él. Obviamente asumiendo solo procesos de dispersión, no absorción (lo cual tiene sentido, pues los fotones son muy energéticos como para ser absorbidos en el Sol). Si buscas en internet, te encontrarás la más exacta cifra de 170000 años, que por lo visto proviene de simulaciones donde se ha tenido en cuenta la estructura de capas del Sol.

Pero siendo brutos, si queremos estimarlo, ¿cómo lo haríamos? A mí se me ha ocurrido una manera, pero no la pondré de momento para no sugestionaros. A ver qué se os ocurre en general para este problema. Yo obtengo en concreto un tiempo de $10^4$ años. Obviamente, el resultado depende enormemente de los parámetros (y suposiciones) que se usen, aunque espero que no tanto del enfoque. Todos deberíamos obtener soluciones de tiempo de entre decenas de miles de años y millones de años.

Espero que os guste el problema. Mantengamos el ritmo cuarentenil (tengo muchos más para cuando terminemos éste :P).

[sater]

Como veo que este problema no triunfa, desgrano la respuesta:

- Consideramos que los fotones se crean en el centro del Sol.

- Supongamos que en el Sol solo hay hidrógeno (podemos considerar Helio y no cambia mucho el asunto) ionizado, y que los fotones van chocando con los electrones, rebotando de uno a otro (podríamos suponer que también chocan con protones, o solo con protones en lugar de electrones. Pero por no complicarnos mucho).

- En tal caso, podemos aproximar el problema por el del "paseo del borracho" tridimensional, donde sabemos que la distancia recorrida desde el origen va como $x\sim l\sqrt{N}$, con $N$ el número de pasos y $l$ el recorrido libre medio.

- Si suponemos electrones fijos, podemos usar que el recorrido libre medio es $l=\dfrac{1}{n \sigma}$, con $n$ el número de electrones por unidad de volumen y $\sigma$ la sección eficaz de choque. La idea de no incluir choques con protones y electrones, sino con solo uno de ellos, es usar la misma sección eficaz en el cálculo. El problema es que depende de la energía, lo que afecta mucho al cálculo. Molaría que alguien intentara complicarse y mejorar estos aspectos (ahí lo dejo )

- Bueno, cuando $x\sim R$ con $R$ el radio del Sol, obtenemos el número de pasos totales que necesita el fotón en promedio para salir. Como cada paso le toma un tiempo $l/c$, el tiempo total para salir es

$$t=\dfrac{n_{e^-}\sigma}{cR}$$

El número de electrones $n_{e^-}$sería uno por cada hidrógeno en el Sol, y este número podemos estimarlo como el cociente entre la masa del Sol y la del hidrógeno. Así salen unos $10^{57}$ electrones. Para la sección eficaz cogí la de Thomson, $\sigma\sim 10^{-29}\:\mathrm{m^2}$. Así, salen unos diez mil años al sustituir.

Nada, solo quería dejar el hilo cerrado. Si alguien tiene algún comentario o una sugerencia de mejora, bienvenida será.

pd: enlaces donde podéis ver cosas al respecto

Cálculo estimativo.

[Richard R Richard]

Por demás de interesante Sater , ni en 10000 años hubiese atinado a una respuesta similar, ni idea de donde sale cada formula, si dispones de tiempo, esboza algunas líneas mas profundas, para ver si te puedo seguir nada mas....

[sater]

Buenas Richard.

Sobre cada fórmula, te dejo unos enlaces:

- Caminata del borracho/ camino aleatorio:
https://www.mit.edu/~kardar/teaching...dt)/random.htm
https://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_41.html

Básicamente la idea es que tienes una partícula que, desde un punto dado, se mueve en una dirección aleatoria y avanza una longitud concreta. Y repites. Es un fenómeno muy estudiado, entre otras, te permite explicar el movimiento browniano, procesos de difusion de partículas... Su límite al continuo te devuelve la ecuación de difusión. A nostros nos interesa que, grosso modo, la distancia que se recorre tras N pasos es la que indico en mi mensaje.

- Recorrido libre medio. Este es un concepto que surge con la teoría cinética de gases y es que, suponiendo que tienes moléculas representadas por esferas fijas, se puede calcular cual es el paso medio que recorre una molécula dada en movimiento entre estas. Depende de la sección eficaz que presenten las esferas. En tal caso se obtiene el recorrido libre medio de Clausius que es el que uso. Si consideras a las esferas en movimiento se reduce en un factor $\sqrt{2}$, que es el recorrido libre medio de Maxwell. Enlace: https://en.wikipedia.org/wiki/Mean_free_path

Yo he supuesto que lo que tenemos es un foton que desde que se crea en el centro, va "rebotando" de electrón en electrón siguiendo un camino aleatorio, y estimo el recorrido entre choque y choque como el recorrido libre medio. Como los electrones no son "esferas", lo que pongo como sección eficaz es la que sale de la interacción fotón electrón. Lo malo que depende de la energía, la cual no es constante para el fotón. Por otro lado, la densidad del Sol influye mucho en el cálculo. Pero diría que como aproximación, está bien así.

Diría que esos son los dos conceptos más extraños que he usado, si tienes dudas en alguno más preguntame

[carroza]

Gracias, Sater.

Solo una pregunta, por cerrar el tema. Las condiciones del "randow walk", en concreto el $x \simeq \ell \sqrt{N}$, surgen en una dimensión. En tres dimensiones, lo relevante es que en cada desplazamiento dado por el recorrido libe medio $\ell$, hay una componente que va en la dirección radial, que contribuye a escaparse del sol, pero hay otras dos componentes "laterales", tal que si el fotón se desplaza a lo largo de ellas, sigue a la misma distancia del sol. Segín esto, yo diría, intuitiva e injustificadamente, que $x \simeq \ell \sqrt{N} / \sqrt{3}$.

Puedes indicarnos si esto es correcto o no?

Un saludo

[sater]

Gracias, Sater.

Solo una pregunta, por cerrar el tema. Las condiciones del "randow walk", en concreto el $x \simeq \ell \sqrt{N}$, surgen en una dimensión. En tres dimensiones, lo relevante es que en cada desplazamiento dado por el recorrido libe medio $\ell$, hay una componente que va en la dirección radial, que contribuye a escaparse del sol, pero hay otras dos componentes "laterales", tal que si el fotón se desplaza a lo largo de ellas, sigue a la misma distancia del sol. Segín esto, yo diría, intuitiva e injustificadamente, que $x \simeq \ell \sqrt{N} / \sqrt{3}$.

Puedes indicarnos si esto es correcto o no?

Un saludo

Buenas Carroza, llevas razón en que he usado la expresión unidimensional. No me preocupé mucho en buscar la tridimensional por no complicarme demasiado (de hecho, obvio multitud de factores numéricos. Por ejemplo, para llegar a la expresión que pongo he usado que el volumen del Sol es $R^3$, olvidando el $4\pi/3$).

Si extendemos el paseo del borracho a tres dimensiones, yo esperaría que entonces $x\sim \sqrt{3} l\sqrt{N}$ (multiplicando, no dividiendo). Aun así, en el enlace que dejé en el anterior mensaje Feynman "demuestra" que en tres dimensiones se puede usar la misma expresión. Escamado, me he ido al artículo del movimiento browniano de Einstein y comenta que en tres dimensiones se añadiría el factor $\sqrt{3}$ multiplicando. ¿Cuál de los dos genios llevará razón?

Un saludo.

pd: aquí comentan que de una a tres dimensiones se multiplica por $\sqrt{3}$

[Alriga]

... en el enlace que dejé en el anterior mensaje Feynman "demuestra" que en tres dimensiones se puede usar la misma expresión. Escamado, me he ido al artículo del movimiento browniano de Einstein y comenta que en tres dimensiones se añadiría el factor $\sqrt{3}$ multiplicando. ¿Cuál de los dos genios llevará razón?

En la Feynmann Lecture "The Brownian Movement" que nos has enlazado dice textualmente:

Now let us use the same formula in the case where the force is not external, but is equal to the irregular forces of the Brownian movement. We shall then try to determine the mean square distance that the object goes. Instead of taking the distances in three dimensions, let us take just one dimension, and find the mean of x², just to prepare ourselves. (Obviously the mean of x² is the same as the mean of y² is the same as the mean of z², and therefore the mean square of the distance is just 3 times what we are going to calculate)

Por lo tanto, yo creo entender que los 2 genios dicen lo mismo: $x \sim \sqrt 3 \sqrt N \ l$

Saludos.

[sater]

Vaya, eso me pasa por no terminar de leer la lección! Me quedé con la expresión 41.18. Eso sí, no entiendo la discordancia entre ambos razonamientos.

[Richard R Richard]

Pero cuanto vale $\mu$ "que creo se calcula o mide de manera analoga como si fuera un parámetro de rozamiento típico de la mecánica clásica cuando se calcula la velocidad terminal de Stokes"...

porque es lo único que falta en la 41.21 para calcular el tiempo.

[sater]

Pero cuanto vale $\mu$ "que creo se calcula o mide de manera analoga como si fuera un parámetro de rozamiento típico de la mecánica clásica cuando se calcula la velocidad terminal de Stokes"...

porque es lo único que falta en la 41.21 para calcular el tiempo.

Yo creo que eso ya no es tan relevante, porque la idea de ese desarrollo es explicar el movimiento browniano y acabar ligando con la ecuación macroscópica de difusión para tener una manera microscópica de explicar variables macroscópicas.

En general, lo que nos interesa es saber si, al pasar de 1 a 3 dimensiones se debe multiplicar por la raíz de 3. Y según el párrafo citado por Alriga es que sí (y también según el sentido común, y el famoso artículo de Einstein). Pero mi problema con este desarrollo de Feynman es que yo veo perfectamente legítimo el desarrollo que hace para llegar a la expresión 41.18, y en tal caso no aparece el factor 3 aun siendo tridimensional. No entiendo esta discrepancia. Pero desde luego, si aceptamos que en una dimension $x\sim l\sqrt{N}$, en tres dimensiones tendríamos $x_i\sim l\sqrt{N}$ y entonces $r=\sqrt{\sum_i x_i^2}\sim \sqrt{3} l\sqrt{N}$

[carroza]

Yo creo que eso ya no es tan relevante, porque la idea de ese desarrollo es explicar el movimiento browniano y acabar ligando con la ecuación macroscópica de difusión para tener una manera microscópica de explicar variables macroscópicas.

En general, lo que nos interesa es saber si, al pasar de 1 a 3 dimensiones se debe multiplicar por la raíz de 3. Y según el párrafo citado por Alriga es que sí (y también según el sentido común, y el famoso artículo de Einstein). Pero mi problema con este desarrollo de Feynman es que yo veo perfectamente legítimo el desarrollo que hace para llegar a la expresión 41.18, y en tal caso no aparece el factor 3 aun siendo tridimensional. No entiendo esta discrepancia. Pero desde luego, si aceptamos que en una dimension $x\sim l\sqrt{N}$, en tres dimensiones tendríamos $x_i\sim l\sqrt{N}$ y entonces $r=\sqrt{\sum_i x_i^2}\sim \sqrt{3} l\sqrt{N}$

Hola. Creo que hay que considerar que el recorrido libre medio que se obtiene de la formula $l = 1/(\sigma \rho)$ no es el recorrido en una dimensión dada $x$, sino que es el recorrido de la partícula, en su direccion de movimiento, antes de interaccionar. Si quisiera calcular el desplazamiento cuadrático medio en una dirección dada, por ejemplo $x$, de una particula que se mueve en una dirección al azartendria que considerar que todas las direcciones son equivalentes, con lo que $\Delta x = \sqrt{\bar x^2}= l / \sqrt{3}$

[sater]

Hola. Creo que hay que considerar que el recorrido libre medio que se obtiene de la formula $l = 1/(\sigma \rho)$ no es el recorrido en una dimensión dada $x$, sino que es el recorrido de la partícula, en su direccion de movimiento, antes de interaccionar. Si quisiera calcular el desplazamiento cuadrático medio en una dirección, por ejemplo $x$, tendria que considerar que todas las direcciones son equivalentes, con lo que $\Delta x = \sqrt{\bar x^2}= l / \sqrt{3}$

Vale, entiendo tu punto ahora. Tú consideras que, en cada paso, dado que la dirección es aleatoria, debemos "repartir" (proyectar) la longitud del paso entre las tres direcciones, de ahí el dividir entre raíz de 3.


MI idea inicial era que el recorrido libre medio te da, en promedio, la longitud de cada paso que hará la partícula en su movimiento azaroso. Por otro lado el paseo del borracho te dice que, conocida la longitud del paso, el desplazamiento cuadrático medio en una dirección será $l\sqrt{N}$. Y si quieres pasar a tres dimensiones, podríamos ingenuamente componer tres paseos del borrachos, con lo que se añade el factor \sqrt{3} multiplicando.

Pero entonces también podemos verlo a tu manera, y pensar que realmente como $l$ se calcula para tres dimensiones, lo que deberíamos usar es que cada $x_i$ se reduce en un factor $\sqrt{3}$, pero al considerar que hemos de componer tres de ellos entonces se multiplica por un factor $\sqrt{3}$ y al final nos hemos quedado igual, obteniéndose el mismo resultado que para una dimensión.

¿Es esto correcto?

[sater]

Por cierto, ¿a alguien se le ocurre una manera de mejorar la estimación? ¿Y otra manera de enfocarlo?

Un saludo.

[sater]

Estoy volviendo a este problema, y considero que el razonamiento del mensaje #10 es correcto, aunque me gustaría saber qué opináis. Realmente en la literatura la caminata aleatoria en tres dimensiones se modela como la suma de tres caminatas aleatorias independientes, por lo que se multiplica por un factor $\sqrt{3}$. Pero eso tendría sentido si los pasos son siempre ortogonales entre sí. Con pasos en ángulos aleatorios, diría que se obtiene el mismo resultado.

[Alriga]

El increíble y asombroso viaje de Fotón

Los cálculos detallados en ¿Cuánto tarda un fotón en salir del Sol?

Saludos.

[sater]

Como ya te he dicho, el vídeo me parece brutal. Buenísimo.

[Alriga]

Como ya te he dicho, el vídeo me parece brutal. Buenísimo.

En el Instituto de Astrofísica de Andalucía (IAA) deben tener un equipo de genios en el departamento de vídeo/imagen/sonido o como se llame, mirad el vídeo de presentación del IAA, es genial:

Saludos.