Divulgación Movimiento de la Luna

[The Higgs Particle]

¿Es la pregunta "¿cuánto tiempo tarda la Luna en girar alrededor del Sol?" más compleja de lo que a simple vista parece? Porque sí, la Tierra tarda unos 365 días, y la Luna orbita a ésta. Sin embargo, orbita a la Tierra cada 27 días, de forma que cuando la Tierra haya vuelto al punto inicial desde el cual se comenzó a contar el tiempo (es decir, cuando haya pasado un año), puede que la Luna no haya llegado (o haya sobrepasado), en su rotación respecto a la Tierra, la posición en la que se encontraba inicialmente (en $t=0$). No es, por lo tanto, exactamente el mismo tiempo que el de traslación terrestre, ¿no?

Ejemplo en el que, pasado un año, la Luna (apenas un puntito en este dibujo) no consigue llegar, en su movimiento de rotación (alrededor de la Tierra), al mismo punto en el que estaba cuando comenzó el año

Sí coincidirían el tiempo de traslación alrededor del Sol tanto de la Luna como de la Tierra en el caso de que el período de rotación de la Luna fuese múltiplo del período de traslación terrestre, ¿no?

Período orbital terrestre: $T_T = 365,256363004$ días
Período orbital sideral (Luna): $T_L = 27,32159722$ días

Hacemos la operación: $\frac{T_T}{T_L} = 13,36877782$ que, claramente, no es un número entero. Por lo tanto, la Luna no tarda 365,25... días en dar una vuelta alrededor del Sol.

¿Es esto correcto?

[visitante20160513]

Re: Movimiento de la Luna

Técnicamente sí, ahora bien si lo que deseas es calcular el dato la cosa es compleja. Cuando la tierra haya completado su órbita alrededor del sol pueden darse dos casos, que la luna ya haya completado su órbita o que la luna aún no haya llegado a completarla, creo que en el problema interviene también la distancia tierra-luna y la posición relativa de ambas cuando se inició la rotación alrededor del sol, me parece que tu pregunta no tiene una respuesta sencilla, y que probablemente tampoco tenga una única respuesta sino que el dato variará con el año, unos años tardará más y otros menos porque el dato buscado dependerá de la orientación y magnitud del vector tierra-luna en el momento en que empezamos a contar el año.

Salu2, Jabato.

[The Higgs Particle]

Re: Movimiento de la Luna

Si consideramos que son $27$ los días que tarda la Luna en dar una vuelta a la Tierra, ¿podemos decir entonces que la Luna tarda $365.25 \pm 27$ días en dar una vuelta completa al Sol?

[Jaime Rudas]

Re: Movimiento de la Luna

Si consideramos que son $27$ los días que tarda la Luna en dar una vuelta a la Tierra, ¿podemos decir entonces que la Luna tarda $365.25 \pm 27$ días en dar una vuelta completa al Sol?

No, no, no: la distancia Tierra Luna es de cerca de 400.000 km y, considerando que la Tierra se traslada a cerca de 30 km/s, esa distancia la recorrería en cerca de 4 horas. Por otra parte, debemos tener en cuenta la diferencia entre año trópico y año sidéreo.

[visitante20160513]

Re: Movimiento de la Luna

Creo que sí porque el error no puede superar una vuelta completa a la tierra, pero también creo que se puede afinar más:

365,25...$\pm$ 13,5 días

Es porque el punto de cruce de la luna con el sol puede estar en el punto mas cercano al sol o el más alejado.

Salu2, Jabato.

- - - Actualizado - - -

Pues ya tenemos el lío.

[Jaime Rudas]

Re: Movimiento de la Luna

Creo que sí porque el error no puede superar una vuelta completa a la tierra, pero también creo que se puede afinar más:

365,25...$\pm$ 13,5 días

Es porque el punto de cruce de la luna con el sol puede estar en el punto mas cercano al sol o el más alejado.

Por lo que dije arriba y teniendo en cuenta que el sistema Tierra-Luna se desplaza a 30 km/s, los cerca 400.000 km que máximo separan la Tierra de la Luna los recorrerá en poco menos de 4 horas, o sea, 0,16 días, por lo que la vuelta total de la Luna sería 365,25... +/- 0,16 días.

Edito:
En realidad, hay dos situaciones extremas:
La Luna inicia el ciclo "delante" de la Tierra y lo termina "detrás". La duración total sería 365,25+0,31=365,56 días.
La Luna inicia el ciclo "detrás" de la Tierra y lo termina "delante". La duración total sería 365,25-0,31=364,94 días.

[Alriga]

Re: Movimiento de la Luna

Supongamos que las órbitas de la Tierra alrededor del Sol y de la Luna alrededor de la Tierra son circulares e inicialmente los 3 astros están alineados Sol-Tierra-Luna
Tomemos como origen de coordenadas el Sol y como eje de abcisas la recta Sol-Tierra-Luna inicial.
Llamo $\theta$ al ángulo que forma la Tierra con el eje de abcisas y $\phi$ el que forma la Luna con ese mismo eje X

a=149.6 Mkm es la distancia Tierra-Sol
b=0.3844 Mkm es la distancia Luna-Tierra

$\vec{SL}=\vec{ST}+\vec{TL}$

$\vec{SL}=a (\cos \theta \vec i + \sin \theta \vec j) + b (\cos \phi \vec i + \sin \phi \vec j )$

Si llamo T=365.25 días al período de la Tierra en torno al Sol y P=27.322 días al período de la Luna en torno a la Tierra, las coordenadas cartesianas de la Luna serán:

$x=a \cos\dfrac{2 \pi t}{T}+b \cos\dfrac{2 \pi t}{P}$

$y=a \sin\dfrac{2 \pi t}{T}+b \sin\dfrac{2 \pi t}{P}$

Inicialmente en t=0 la coordenada y de la Luna es y=0
Volverá a ser y=0 cerca del punto en el que la Tierra haya dado media vuelta alrededor del Sol y finalmente y=0, cerca de donde la Tierra haya dado una vuelta completa alrededor del Sol. Por lo tanto una vuelta completa de la Luna alrededor del Sol es la 3ª solución de la ecuación y(t)=0

$149.6 \sin\dfrac{2 \pi t}{365.25} + 0.3844 \sin\dfrac{2 \pi t}{27.322} = 0$

t	y
0,0000 días	0,0000 Mkm
45,0000 días	104,2756 Mkm
91,0000 días	149,9339 Mkm
137,0000 días	105,7607 Mkm
182,4902 días	0,0000 Mkm
228,0000 días	-104,9521 Mkm
274,0000 días	-149,5313 Mkm
320,0000 días	-105,4149 Mkm
365,1375 días	0,0000 Mkm

Por tanteo obtengo como solución 365.1375 días.

Saludos.

[Jaime Rudas]

Re: Movimiento de la Luna

Por tanteo obtengo como solución 365.1375 días.

Inicias el ciclo en luna llena. ¿Qué pasaría si lo inicias en cuarto menguante (Luna "delante" de la Tierra) o en cuarto creciente (Luna "detrás" de la Tierra)?

[Alriga]

Re: Movimiento de la Luna

Inicias el ciclo en luna llena. ¿Qué pasaría si lo inicias en cuarto menguante (Luna "delante" de la Tierra) o en cuarto creciente (Luna "detrás" de la Tierra)?

Simplemente que:

$\vec{SL}=a (\cos \theta \vec i + \sin \theta \vec j) + b \ [\ \cos( \phi+\phi_0) \vec i + \sin( \phi+\phi_0) \vec j \ ]$

Con $\phi_0$ el ángulo que tu quieras. Calculas la ordenada en el inicio $y_0$ y planteas la ecuación y(t) con el ángulo inicial buscando la solución $y(t)=y_0$ en vez de y(t)=0 como antes.

Supongo que las diferencias en tiempo serán mínimas.

Saludos.

[Jaime Rudas]

Re: Movimiento de la Luna

Se me ocurre esta solución:

La Luna inicia a 384.400 km "detrás" de la Tierra. 365,25 días después, la Tierra está en punto inicial y la Luna a dado 365,25/27,322= 13,368 vueltas a la Tierra, que implica que la Luna se encuentra 0,368 vueltas "delante" del punto inicial. Las 0,368 vueltas son 132,6° cuya proyección en la órbita terrestre es de 384.400(1-cos(132,6°))=644.617 km. Esto significa que a los 365,25 la Luna ya ha dado una vuelta al Sol más 644.617 km. Estos 644.617 km los recorrió el sistema Tierra Luna en 644.217km/30km/s = 21.487 s = 0,25 días. En conclusión, la Luna tarda entre 365 y 365,5 días en dar la vuelta al Sol.

[Alriga]

Re: Movimiento de la Luna

Simplemente que:

$\vec{SL}=a (\cos \theta \vec i + \sin \theta \vec j) + b \ [\ \cos( \phi+\phi_0) \vec i + \sin( \phi+\phi_0) \vec j \ ]$Con $\phi_0 \$ el ángulo que tu quieras.

Calculas la ordenada en el inicio $y_0$ y planteas la ecuación y(t) con el ángulo inicial buscando la solución $y(t)=y_0$ en vez de y(t)=0 como antes.
Supongo que las diferencias en tiempo serán mínimas.
Saludos.

He hecho los cálculos y con $\phi_0=\frac{\pi}{2}$ me sale 365.5068 días mientras que con $\phi_0 = - \frac{\pi}{2}$ obtengo 365.00583 días

... En conclusión, la Luna tarda entre 365 y 365,5 días en dar la vuelta al Sol ...

Como puedes ver, coincide con lo que tú dices.

Saludos.

[visitante20160513]

Re: Movimiento de la Luna

Veamos, si establecemos un sistema de coordenadas centrado en el sol, y establecemos las ecuaciones del movimiento de la luna respecto al sol como composición de dos movimientos:

1.- El movimiento de traslación de la tierra alrededor del sol
2.- El movimiento de traslación de la luna alrededor de la tierra, teniendo en cuenta además que el plano orbital de la luna no coincide con el plano de la eclíptica.

creo que podría establecerse con la suficiente precisión en que momento la luna describe una órbita completa alrededor del sol dependiendo de las posiciones iniciales. El problema es como obtener los parámetros necesarios para establecer esas ecuaciones, pero una vez hecho eso es un sencillo problema de cálculo, muy farragoso, pero con ayuda de algún programa estaría hecho.

¿Podemos obtener esos parámetros? Si faltara alguno se podrían habilitar algunas aproximaciones como por ejemplo suponer que el plano orbital de la luna coincide con el plano de la eclíptica o suponer que las órbitas son circulares, aunque ya que nos ponemos deberíamos hacerlo bien.

Salu2, Jabato.

[Jaime Rudas]

Re: Movimiento de la Luna

¿Podemos obtener esos parámetros? Si faltara alguno se podrían habilitar algunas aproximaciones como por ejemplo suponer que el plano orbital de la luna coincide con el plano de la eclíptica que es falso, aunque ya que nos ponemos deberíamos hacerlo bien.

Sí es posible resolverlo así, pero opino que lo que se gana en precisión es insignificante comparado con lo complicado que resulta hacer el cálculo. Eso me recuerda que por allá por los años 70 el tiempo de uso de un computador era un costo a tener en cuenta, por lo que no era bien visto desarrollar algoritmos que gastaran recursos en obtener mayor precisión de la estrictamente requerida.

[Alriga]

Re: Movimiento de la Luna

Veamos, si establecemos un sistema de coordenadas centrado en el sol, y establecemos las ecuaciones del movimiento de la luna respecto al sol como composición de dos movimientos:
1.- El movimiento de traslación de la tierra alrededor del sol
2.- El movimiento de traslación de la luna alrededor de la tierra, teniendo en cuenta además que el plano orbital de la luna no coincide con el plano de la eclíptica.
creo que podría establecerse con la suficiente precisión en que momento la luna describe una órbita completa alrededor del sol dependiendo de las posiciones iniciales. El problema es como obtener los parámetros necesarios para establecer esas ecuaciones, pero una vez hecho eso es un sencillo problema de cálculo, muy farragoso, pero con ayuda de algún programa estaría hecho.
¿Podemos obtener esos parámetros? Si faltara alguno se podrían habilitar algunas aproximaciones ...

Las aproximaciones que he realizado, algunas las he dicho explícitamente y otras son evidentes si se lee el hilo con un mínimo de "cariño", pero si hay alguien para el que no han quedado claras, son:

que las dos órbitas son coplanarias
que son circulares, con el Sol en uno de los centros y la Tierra en el otro
y que ambas órbitas se recorren con velocidad constante

Evidentemente que no corresponden fielmente a la realidad, las órbitas reales son elípticas la velocidad no es constante, la órbita de la Luna tiene 5.145º de inclinación, el Sol y la Tierra no están ni siquiera en los focos de las elipses, puesto que ahí están los centros de masas,...

... aunque ya que nos ponemos deberíamos hacerlo bien ...

¡¡¡ Adelante, estaré muy agradecido !!! Y cuando lo hayamos "hecho bien" podremos ver si la solución se parece a $365.25 \pm 13.5 \ dias$ o bien se parece más a $365.25 \pm 0.25 \ dias$

Saludos.

[visitante20160513]

Re: Movimiento de la Luna

Sí, el problema es que no tengo la información suficiente para determinar todos los parámetros, la astronomía no es mi especialidad aunque imagino que sí habrá alguien que pueda construir un modelo suficientemente aproximado. Me gustaría verlo tanto como a ti, pero sin datos será difícil que pueda hacerlo.

Salu2, Jabato.