1r ciclo Excentricidad en órbita hiperbólica

[jssln]

En este ejercicio:
La velocidad de un cometa es 5 m/s cuando está muy lejos del Sol. Si se moviera a lo largo de una línea recta, pasaría a 1 UA del Sol. Encuentra la excentricidad, el semieje mayor, y la distancia al perihelio de la órbita. ¿Qué le pasará al cometa?
El profesor me ha dicho que la excentricidad difiere muy poco de 1 y vais a tener que operar con cuidado para no perder la precisión del cálculo.
Por lo que yo he llegado a esta conclusión pero no se como resolverlo. Alguien podría ayudarme.

[Alriga]

En una órbita hiperbólica la velocidad "v" en función de la distancia al sol "r" y el semieje mayor "a" es:

$v(r)=\sqrt{ G \ M \ \left ( \dfrac 2 r+\dfrac 1 a \right )}$

"G" es la constante de gravitación universal y "M" la masa del Sol.

Cuando el cometa "está muy lejos del sol" $r \to \infty$

$v_{\infty}=\sqrt{ G \ M \ \left ( \dfrac 2{\infty}+\dfrac 1 a \right )}$

$$a=\dfrac{G M}{v_{\infty}^2}$$

Cuando te dicen "si se moviera a lo largo de una línea recta, pasaría a 1 UA del Sol" te están dando el "parámetro de impacto b" que se relaciona con el semieje mayor "a" y la excentricidad "e" mediante:

$b=a \ \sqrt{e^2-1}$

$$e=\sqrt{1+\dfrac{b^2}{a^2}}$$

Finalmente, la distancia en el perihelio es:

$$r_p=a \ (e-1)$$

Saludos.

PD. Con $v_{\infty}=5 \ m/s$ sale que la excentricidad es:

e = 1.000 000 000 000 000 397

Y que el perihelio es menor que el radio del Sol, por lo tanto el cometa chocará contra el Sol.