Coordenadas ecuatoriales a eclipticas

[jssln]

Buenos días, alguien me podría decir si he resuelto bien este ejercicio o me he equivocado en algo del planteamiento.

Un cometa tiene las coordenadas ecuatoriales α = 5h 27min, δ = +68⁰28´ . ¿Cuáles son sus coordenadas eclípticas?

Utilizamos las tres ecuaciones de cambio de variable.
(1) $cos \beta cos \lambda = cos \delta cos \alpha$
(2)$cos \beta sin \lambda = cos \delta sin \alpha sin \varepsilon + sin\delta sin \varepsilon$
(3) $sin \beta = sin\delta cos\varepsilon - cos\delta sin\alpha sin\varepsilon$

Entonces sustituyo en (3)
$sin \beta = sin 68.46º cos 28.4414º - cos 68.46º sin 81.75º sin 28.4414º$
$sin \beta = 0.6449$
$\beta = 40.15º$

Tiene que estar entre 0º y 90º , así que sería el valor correcto, ya que el otro estaría fuera

Ahora sustituyo en (1)
$cos \lambda = (cos \delta cos \alpha)/cos \beta$
$cos \lambda = (cos 68.46º cos 81.75º)/cos 40.15º$
$cos \lambda = 0.689$ > 0

y en (2)
$sin \lambda = (cos \delta sin \alpha sin \varepsilon + sin\delta sin \varepsilon) / cos \beta$
$sin \lambda = (cos 68.46º sin 81.75º sin 28.4414º + sin 68.46º sin 28.4414º) / cos 40.15º$
$sin \lambda = 0.8060$ > 0

Como los dos son positivos $\lambda$ está en el primer cuadrante

$\lambda$ = 53.70º

Una pregunta adicional, tengo entendido que se puede sacar el valor de $\lambda$ solo sustituyendo en una ecuación y que hay una forma directa de descartar el ángulo que no es, pero no sé qué procedimiento se sigue, ¿Alguien podría ayudarme?

[Alriga]

He repetido tus cálculos pero con el valor correcto de la Oblicuidad de la Eclíptica:

$\epsilon=\cancel{28.4414}$º

$\epsilon=$ 23º26' = 23.433333º

Ascensión Recta $\alpha=05^h 27^m=$ 81.75º

Declinación $\delta=$ 68º 28' = 68.466667º

Las expresiones de transformación de coordenadas ecuatoriales a coordenadas eclípticas son:

$$\sin\beta=\sin\delta\cos\epsilon-\cos\delta\sin\epsilon\sin\alpha$$

$$\sin\lambda \cos \beta = \sin\delta \sin\epsilon + \cos\delta\cos\epsilon\sin\alpha$$

$$\cos \lambda \cos \beta = \cos \delta \cos\alpha$$

Para la Latitud Eclíptica me sale:

$\sin \beta=0.709029$

$\beta=$ 45º 09'

Yo siempre hago igual que tú, calculo el seno y el coseno de la Longitud Eclíptica y así seguro que no me equivoco

$\sin \lambda=0.997207$

$\cos \lambda=0.074687$

Como ambos son positivos

$\lambda=$ 85º 43'

...Una pregunta adicional, tengo entendido que se puede sacar el valor de $\lambda$ solo sustituyendo en una ecuación y que hay una forma directa de descartar el ángulo que no es, pero no sé qué procedimiento se sigue, ¿Alguien podría ayudarme?...

Otra posibilidad es dividir miembro a miembro las 2 ecuaciones en las que salen en una el seno y en la otra el coseno de la Longitud, es decir, dividir (2) / (3)

$$\tan\lambda =\dfrac {\tan \delta \sin\epsilon}{\cos \alpha} + \cos\epsilon\tan\alpha$$

Al hacer el arcotangente, imponer que la Longitud Eclíptica esté en el mismo cuadrante que la Ascensión Recta. En nuestro ejercicio:

$\tan \lambda=13.351783$

Opción 1: $\lambda=$ 85º 43'

O bien, opción 2: $\lambda=$ 265º 43'

Como $\alpha=$ 81º 45' hay que elegir $\lambda=$ 85º 43'

Saludos.